數(shù)學(xué)高中教案。

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數(shù)學(xué)高中教案(篇1)

一.教材依據(jù)

《江蘇教育出版社》必修5 第二章 第二節(jié)“等差數(shù)列”

二.設(shè)計(jì)思想

數(shù)列是刻畫一類離散現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，在我們的日常生活中，會(huì)遇到如存款利息、構(gòu)房貸款、資產(chǎn)折舊等一些計(jì)算問題，數(shù)列模型可以幫助我們解決這類實(shí)際問題，學(xué)習(xí)數(shù)列知識(shí)對(duì)進(jìn)一步理解函數(shù)的概念和體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值具有重要的意義。

本章主要通過對(duì)日常生活中大量的實(shí)際問題的分析，建立等差數(shù)列和等比數(shù)列這兩種數(shù)列模型，探索并掌握它們的一些性質(zhì)，感受這兩種數(shù)列模型的廣泛應(yīng)用，并利用它們解決一些實(shí)際問題。

“等差數(shù)列”第一課時(shí)是以概念為主的一節(jié)課，內(nèi)容主要是等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式。等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的公式的導(dǎo)出都離不開等差數(shù)列的定義，因此，教學(xué)中首先要講清等差數(shù)列的定義，并且自始自終都要緊扣這個(gè)定義。

由于等差數(shù)列的定義學(xué)生較易理解，而且學(xué)生也具備這方面的基礎(chǔ)，所以在本節(jié)內(nèi)容的教學(xué)設(shè)計(jì)上，充分體現(xiàn)學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體這一特點(diǎn)，首先從實(shí)際問題和學(xué)生已有知識(shí)出發(fā)，提供一組具體數(shù)列，然后引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、分析它們的規(guī)律，歸納出等差數(shù)列的定義。緊接著教師提出一個(gè)開放性的問題：“在等差數(shù)列 中，若公差為d，請(qǐng)根據(jù)等差數(shù)列的定義，寫出與之相關(guān)的等式”。并用實(shí)物投影展示有代表性的學(xué)生的列式，由學(xué)生評(píng)價(jià)、補(bǔ)充。在這過程中，學(xué)生通過數(shù)學(xué)符號(hào)語言與文字語言的互譯，加深了對(duì)定義的理解。而且用不同的方法推導(dǎo)出了通項(xiàng)公式，把等差數(shù)列的定義與通項(xiàng)公式有機(jī)地聯(lián)系起來。讓學(xué)生充分體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過程，盡可能地讓學(xué)生通過觀察、分析、猜想、歸納、類比、推理等在發(fā)現(xiàn)探索知識(shí)的過程中體驗(yàn)數(shù)學(xué)，讓學(xué)生在自主探求知識(shí)的同時(shí)，獲得了分析問題、解決問題的能力，培養(yǎng)了創(chuàng)新意識(shí)。在教學(xué)設(shè)計(jì)上突出了數(shù)學(xué)思想方法，如對(duì)數(shù)列概念的介紹和通項(xiàng)公式的探究中充分體現(xiàn)函數(shù)思想和類比思想;在公式的運(yùn)算中體現(xiàn)方程思想和數(shù)形結(jié)合思想。

在通項(xiàng)公式的應(yīng)用中，有針對(duì)性地選擇例題，充分挖掘教材例題的內(nèi)涵。通過例1(教材例4)的教學(xué)，讓學(xué)生感受等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系，聯(lián)系教材36頁的“思考”進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列的公差d便是數(shù)列的各點(diǎn)所在直線的斜率，進(jìn)一步得出公差d與等差數(shù)列函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系。在例2(教材例2)的教學(xué)中，讓學(xué)生初步感受數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用，并引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)a6=a3+6d，進(jìn)一步探索通項(xiàng)公式更一般的形式。

三.教學(xué)目標(biāo)

1.認(rèn)知目標(biāo)：理解等差數(shù)列的定義，掌握等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)方法以及它的簡單應(yīng)用。

2.能力目標(biāo)：在定義的理解和通項(xiàng)公式的推導(dǎo)、應(yīng)用過程中，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、分析、歸納能力和嚴(yán)密的邏輯思維能力。

3.情感目標(biāo)：通過學(xué)生自主的探索活動(dòng)，獲得新知識(shí)，讓學(xué)生感受到成功的喜悅，從中培養(yǎng)他們的創(chuàng)新意識(shí)。

四.教學(xué)重點(diǎn)：

理解等差數(shù)列的定義，掌握等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)方法。

五.教學(xué)難點(diǎn)：

對(duì)等差數(shù)列通項(xiàng)公式的透徹理解以及通項(xiàng)公式的函數(shù)意義。

六.教學(xué)準(zhǔn)備：

1、認(rèn)真研讀“數(shù)列”這一章新舊教材，比較它們的異同，以便備課時(shí)能更好地體現(xiàn)新課程理念。

2、課前發(fā)給每位同學(xué)一張白紙，要求學(xué)生帶黑色水筆，以備課堂實(shí)物投影所需。

3、老師制作投影片，課前檢查實(shí)物投影儀。

七.教學(xué)過程：

㈠引言：

從學(xué)生上一課所學(xué)的“劇場座位”的數(shù)列實(shí)例(教材P29)導(dǎo)入新課。

教師出示【投影片1】 某劇場有30排座位，第一排有20個(gè)座位，從第二排起，后一排都比前一排多2個(gè)座位，那么各排的座位數(shù)依次為20，22，24，26，28，…。

思考：第30排有多少個(gè)座位?

㈡關(guān)于等差數(shù)列定義的學(xué)習(xí)過程：

實(shí)例展示，引出定義

⑴教師出示【投影片2】并提出問題：觀察下列數(shù)列有何共同特點(diǎn)?

(設(shè)計(jì)目的：①逐步引導(dǎo)學(xué)生自己描述出這些數(shù)列的共同特征，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)。②培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和歸納、表達(dá)能力。)

⑵教師：揭示課題(板書)，出示【投影片3】：

如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列。

(設(shè)計(jì)目的：加深對(duì)定義中關(guān)鍵詞的理解。)

對(duì)定義的再認(rèn)識(shí)：

⑴教師再次出示【投影片2】，并提出問題：以上四個(gè)等差數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差是多少?

(設(shè)計(jì)目的：引出公差的概念及符號(hào)表示。)

⑵教師提出問題：如果等差數(shù)列 ： ，公差為d，根據(jù)等差數(shù)列的定義，寫出與之相關(guān)的等式，選擇列式有代表性的學(xué)生板演。(估計(jì)學(xué)生會(huì)出現(xiàn)以下幾種狀況)

狀況一： 狀況二：

數(shù)學(xué)高中教案(篇2)

教材分析：

1、內(nèi)容簡析：

本節(jié)主要內(nèi)容是等比數(shù)列的概念及通項(xiàng)公式，它是繼等差數(shù)列后有一個(gè)特殊數(shù)列，是研究數(shù)列的重要載體，與實(shí)際生活有密切的聯(lián)系，如細(xì)胞分裂、銀行貸款問題等都要用等比數(shù)列的知識(shí)來解決，在研究過程中體現(xiàn)了由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想、函數(shù)思想和方程思想，在高考中占有重要地位。

2、教學(xué)目標(biāo)確定：

從知識(shí)結(jié)構(gòu)來看，本節(jié)核心內(nèi)容是等比數(shù)列的概念及通項(xiàng)公式，可從等比數(shù)列的“等比”的特點(diǎn)入手，結(jié)合具體的例子來學(xué)習(xí)等比數(shù)列的概念，同時(shí)，還要注意“比”的特性。在學(xué)習(xí)等比數(shù)列的定義的基礎(chǔ)上，導(dǎo)出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式以及一些常用的性質(zhì)。從而可以確定如下教學(xué)目標(biāo)(三維目標(biāo))：

第一課時(shí)：

(1)理解等比數(shù)列的概念 ，掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及公式的推導(dǎo)

(2)在教學(xué)過程中滲透方程、函數(shù)、特殊到一般等數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生觀察、歸納、猜想、證明等邏輯思維能力

(3)通過對(duì)等比數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)

第二課時(shí)：

(1)加深對(duì)等比數(shù)列概念理解，靈活運(yùn)用等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式，了解等比中項(xiàng)概念，掌握等比數(shù)列的性質(zhì)

(2)運(yùn)用等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式解決問題，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用

3、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：

第一課時(shí)：

重點(diǎn)：等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式

難點(diǎn)：應(yīng)用等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式，解決相關(guān)簡單問題

第二課時(shí)：

重點(diǎn)：等比中項(xiàng)的理解與運(yùn)用，及等比數(shù)列定義及通項(xiàng)公式的應(yīng)用

難點(diǎn)：靈活應(yīng)用等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式、性質(zhì)解決相關(guān)問題

學(xué)情分析：

從整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)教材體系安排分析，前面已安排了函數(shù)知識(shí)的學(xué)習(xí)，以及等差數(shù)列的有關(guān)知識(shí)的學(xué)習(xí)，但是對(duì)于國際象棋故事中的問題，學(xué)生還是不能解決，存在疑問。本課正是由此入手來引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，產(chǎn)生求知的欲望。而矛盾解決的關(guān)鍵依然依賴于學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)──在研究等差數(shù)列中用到的思想方法，于是從幾個(gè)特殊的對(duì)應(yīng)觀察、分析、歸納、概括得出等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式。

高一學(xué)生正處于從初中到高中的過度階段，對(duì)數(shù)學(xué)思想和方法的認(rèn)識(shí)還不夠，思維能力比較欠缺，他們重視具體問題的運(yùn)算而輕視對(duì)問題的抽象分析。同時(shí)，高一階段又是學(xué)生形成良好的思維能力的關(guān)鍵時(shí)期。因此，本節(jié)教學(xué)設(shè)計(jì)一方面遵循從特殊到一般的認(rèn)知規(guī)律，另一方面也加強(qiáng)觀察、分析、歸納、概括能力培養(yǎng)。

多數(shù)學(xué)生愿意積極參與，積極思考，表現(xiàn)自我。所以教師可以把盡可能多的時(shí)間、空間讓給學(xué)生，讓學(xué)生在參與的過程中，學(xué)習(xí)的自信心和學(xué)習(xí)熱情等個(gè)性心理品質(zhì)得到很好的培養(yǎng)。這也體現(xiàn)了教學(xué)工作中學(xué)生的主體作用。

教法選擇與學(xué)法指導(dǎo)：

由于等比數(shù)列與等差數(shù)列僅一字之差，在知識(shí)內(nèi)容上是平行的，可用比較法來學(xué)習(xí)等比數(shù)列的相關(guān)知識(shí)。在深刻理解等差數(shù)列與等比數(shù)列的區(qū)別與聯(lián)系的基礎(chǔ)上，牢固掌握數(shù)列的相關(guān)知識(shí)。因此，在教法和學(xué)法上可做如下考慮：

1、教法：采用問題啟發(fā)與比較探究式相結(jié)合的教學(xué)方法

教法構(gòu)思如下：提出問題 引發(fā)認(rèn)知沖突 觀察分析 歸納概括 得出結(jié)論 總結(jié)提高。在教師的精心組織下，對(duì)學(xué)生各種能力進(jìn)行培養(yǎng)，并以促進(jìn)學(xué)生發(fā)展，又以學(xué)生的發(fā)展帶動(dòng)其學(xué)習(xí)。同時(shí)，它也能促進(jìn)學(xué)生學(xué)會(huì)如何學(xué)習(xí)，因而特別有利于培養(yǎng)學(xué)生的探索能力。

2、學(xué)法指導(dǎo)：

學(xué)生學(xué)習(xí)的目的在于學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、思考，達(dá)到創(chuàng)新的目的，掌握科學(xué)有效的學(xué)習(xí)方法，可增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)信心，培養(yǎng)其學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)習(xí)效率，從而激發(fā)強(qiáng)烈的學(xué)習(xí)積極性。我考慮從以下幾方面來進(jìn)行學(xué)法指導(dǎo)：

把隱含在教材中的思想方法顯化。如等比數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)體現(xiàn)了從特殊到一般的方法。其通項(xiàng)公式 是以n為字變量的函數(shù)，可利用函數(shù)思想來解決數(shù)列有關(guān)問題。思想方法的顯化對(duì)提高學(xué)生數(shù)學(xué)修養(yǎng)有幫助。

注重從科學(xué)方法論的高度指導(dǎo)學(xué)生的學(xué)習(xí)。通過提問、分析、解答、總結(jié)，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力。訓(xùn)練邏輯思維的嚴(yán)密性和深刻性的目的。

教學(xué)過程設(shè)計(jì)：

第一課時(shí)

1、創(chuàng)設(shè)情境，提出問題 (閱讀本章引言并打出幻燈片)

情境1：本章引言內(nèi)容

提出問題：同學(xué)們，國王有能力滿足發(fā)明者的要求嗎?

引導(dǎo)學(xué)生寫出各個(gè)格子里的麥粒數(shù)依次為：

1，2， ……， (1)

于是發(fā)明者要求的麥?？倲?shù)是

情境2：某人從銀行貸款10000元人民幣，年利率為r，若此人一年后還款，二年后還款，三年后還款，……，還款數(shù)額依次滿足什么規(guī)律?

10000(1+r)，10000 ，10000 ，…… (2)

情境3：將長度為1米的木棒取其一半，將所得的一半再取其一半，再將所得的木棒繼續(xù)取其一半，……各次取得的木棒長度依次為多少? …… (3)

問：你能算出第7次取一半后的長度是多少嗎?觀察、歸納、猜想得

2、自主探究，找出規(guī)律：

學(xué)生對(duì)數(shù)列(1)，(2)，(3)分析討論，發(fā)現(xiàn)共同特點(diǎn)：從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比都等于同一常數(shù)。也就是說這些數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比都具有“相等”的特點(diǎn)。于是得到等比數(shù)列的定義：

一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列。這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比常用字母 表示，即 。

如數(shù)列(1)，(2)，(3)都是等比數(shù)列，它們的公比依次是2，1+r，

點(diǎn)評(píng)：等比數(shù)列與等差數(shù)列僅一字之差，對(duì)比知從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)之“差”為常數(shù)，則為等差數(shù)列，之“比”為常數(shù)，則為等比數(shù)列，此常數(shù)稱為“公差”或“公比”。

3、觀察判斷，分析總結(jié)：

觀察以下數(shù)列，判斷它是否為等比數(shù)列，若是，找出公比，若不是，說出理由，然后回答下面問題：

1，3，9，27，……

……

1，-2，4，-8，……

-1，-1，-1，-1，……

1，0，1，0，……

思考：①公比 能為0嗎?為什么?首項(xiàng)能為0嗎?

②公比 是什么數(shù)列?

③ 數(shù)列遞增嗎? 數(shù)列遞減嗎?

④等比數(shù)列的定義也恰好給出了等比數(shù)列的遞推關(guān)系式：

這一遞推式正是我們證明等比數(shù)列的重要工具。

選題分析;因?yàn)榈炔顢?shù)列公差 可以取任意實(shí)數(shù)，所以學(xué)生對(duì)公比 往往忘卻它不能取0和能取1的特殊情況，以致于在不為具體數(shù)字(即為字母運(yùn)算)時(shí)不會(huì)討論以上兩種情況，故給出問題以揭示學(xué)生對(duì)公比 有防患意識(shí)，問題③是讓學(xué)生明白 時(shí)等比數(shù)列的單調(diào)性不定，而 時(shí)數(shù)列為擺動(dòng)數(shù)列，要注意與等差數(shù)列的區(qū)別。

備選題：已知 則 …… ，……成等比數(shù)列的從要條件是什么?

4、觀察猜想，求通項(xiàng)：

方法1：由定義知道 ……歸納得：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為：

(說明：推得結(jié)論的這一方法稱為歸納法，不是公式的證明，要想對(duì)這一方式的結(jié)論給出嚴(yán)格的證明，需在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法后完成，現(xiàn)階段我們只承認(rèn)它是正確的就可以了)

方法2：迭代法

根據(jù)等比數(shù)列的定義有

……

方法3：由遞推關(guān)系式或定義寫出： …… ，通過觀察發(fā)現(xiàn) …… ……

，即：

(此證明方法稱為“累商法”，在以后的數(shù)列證明中有重要應(yīng)用)

公式 的特征及結(jié)構(gòu)分析：

數(shù)學(xué)高中教案(篇3)

【課題名稱】

《等差數(shù)列》的導(dǎo)入

【授課年級(jí)】

高中二年級(jí)

【教學(xué)重點(diǎn)】

理解等差數(shù)列的概念，能夠運(yùn)用等差數(shù)列的定義判斷一個(gè)數(shù)列是否為等差數(shù)列。

【教學(xué)難點(diǎn)】

等差數(shù)列的性質(zhì)、等差數(shù)列“等差”特點(diǎn)的理解，

【教具準(zhǔn)備】多媒體課件、投影儀

【三維目標(biāo)】

㈠知識(shí)目標(biāo)：

了解公差的概念，明確一個(gè)等差數(shù)列的限定條件，能根據(jù)定義判斷一個(gè)等差數(shù)列是否是一個(gè)等差數(shù)列;

㈡能力目標(biāo)：

通過尋找等差數(shù)列的共同特征，培養(yǎng)學(xué)生的觀察力以及歸納推理的能力;

㈢情感目標(biāo)：

通過對(duì)等差數(shù)列概念的歸納概括，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、分析資料的能力。

【教學(xué)過程】

導(dǎo)入新課

師：上兩節(jié)課我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了數(shù)列的定義以及給出表示數(shù)列的幾種方法—列舉法、通項(xiàng)法，遞推公式、圖像法。這些方法分別從不同的角度反映了數(shù)列的特點(diǎn)。下面我們觀察以下的幾個(gè)數(shù)列的例子：

(1)我們經(jīng)常這樣數(shù)數(shù)，從0開始，每個(gè)5個(gè)數(shù)可以得到數(shù)列：0,5,10,15,20,()

(2)2000年，在澳大利亞悉尼舉行的奧運(yùn)會(huì)上，女子舉重被正式列為比賽項(xiàng)目，該項(xiàng)目工設(shè)置了7個(gè)級(jí)別，其中較輕的4個(gè)級(jí)別體重組成的數(shù)列(單位：kg)為48,53,58,63,()試問第五個(gè)級(jí)別體重多少?

(3)為了保證優(yōu)質(zhì)魚類有良好的生活環(huán)境，水庫管理員定期放水清庫以清除水庫中的雜魚。如果一個(gè)水庫的水位為18m，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m。即可得到一個(gè)數(shù)列：18,15.5,13,10.5,8，()，則第六個(gè)數(shù)應(yīng)為多少?

(4)10072,10144,10216,( ),10360

請(qǐng)同學(xué)們回答以上的四個(gè)問題

生：第一個(gè)數(shù)列的第6項(xiàng)為25，第二個(gè)數(shù)列的第5個(gè)數(shù)為68，第三個(gè)數(shù)列的第6個(gè)數(shù)為5.5，第四個(gè)數(shù)列的第4個(gè)數(shù)為10288。

師：我來問一下，你是依據(jù)什么得到了這幾個(gè)數(shù)的呢?請(qǐng)以第二個(gè)數(shù)列為例說明一下。

生：第二個(gè)數(shù)列的后一項(xiàng)總比前一項(xiàng)多5，依據(jù)這個(gè)規(guī)律我就得到了這個(gè)數(shù)列的第5個(gè)數(shù)為68.

師：說的很好!同學(xué)們?cè)僮屑?xì)地觀察一下以上的四個(gè)數(shù)列，看看以上的四個(gè)數(shù)列是否有什么共同特征?請(qǐng)注意，是共同特征。

生1：相鄰的兩項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)。

師：很好!那作差是否有順序?是否可以顛倒?

生2：作差的順序是后項(xiàng)減去前項(xiàng)，不能顛倒!

師：正如生1的總結(jié)，這四個(gè)數(shù)列有共同的特征：從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)(即等差)。我們叫這樣的數(shù)列為等差數(shù)列。這就是我們這節(jié)課要研究的內(nèi)容。

推進(jìn)新課

等差數(shù)列的定義：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)就叫做等差數(shù)列的公差，公差常用字母d表示。從剛才的分析，同學(xué)們應(yīng)該注意公差d一定是由后項(xiàng)減前項(xiàng)。

師：有哪個(gè)同學(xué)知道定義中的關(guān)鍵字是什么?

生2：“從第二項(xiàng)起”和“同一個(gè)常數(shù)”

高中數(shù)學(xué)優(yōu)秀教案?篇2

一、教學(xué)目標(biāo)

【知識(shí)與技能】

在掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程的基礎(chǔ)上，理解記憶圓的一般方程的代數(shù)特征，由圓的一般方程確定圓的`圓心半徑，掌握方程x+y+Dx+Ey+F=0表示圓的條件。

【過程與方法】

通過對(duì)方程x+y+Dx+Ey+F=0表示圓的的條件的探究，學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)及分析解決問題的實(shí)際能力得到提高。

【情感態(tài)度與價(jià)值觀】

滲透數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，提高學(xué)生的整體素質(zhì)，激勵(lì)學(xué)生創(chuàng)新，勇于探索。

二、教學(xué)重難點(diǎn)

【重點(diǎn)】

掌握?qǐng)A的一般方程，以及用待定系數(shù)法求圓的一般方程。

【難點(diǎn)】

二元二次方程與圓的一般方程及標(biāo)準(zhǔn)圓方程的關(guān)系。

三、教學(xué)過程

(一)復(fù)習(xí)舊知，引出課題

1、復(fù)習(xí)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，圓心、半徑。

2、提問1：已知圓心為(1，—2)、半徑為2的圓的方程是什么?

高中數(shù)學(xué)優(yōu)秀教案?篇3

[學(xué)習(xí)目標(biāo)]

(1)會(huì)用坐標(biāo)法及距離公式證明Cα+β;

(2)會(huì)用替代法、誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)關(guān)系式，由Cα+β推導(dǎo)Cα—β、Sα±β、Tα±β，切實(shí)理解上述公式間的關(guān)系與相互轉(zhuǎn)化;

(3)掌握公式Cα±β、Sα±β、Tα±β，并利用簡單的三角變換，解決求值、化簡三角式、證明三角恒等式等問題。

[學(xué)習(xí)重點(diǎn)]

兩角和與差的正弦、余弦、正切公式

[學(xué)習(xí)難點(diǎn)]

余弦和角公式的推導(dǎo)

[知識(shí)結(jié)構(gòu)]

1、兩角和的余弦公式是三角函數(shù)一章和、差、倍公式系列的基礎(chǔ)。其公式的證明是用坐標(biāo)法，利用三角函數(shù)定義及平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式，把兩角和α+β的余弦，化為單角α、β的三角函數(shù)(證明過程見課本)

2、通過下面各組數(shù)的值的比較：①cos(30°—90°)與cos30°—cos90°②sin(30°+60°)和sin30°+sin60°。我們應(yīng)該得出如下結(jié)論：一般情況下，cos(α±β)≠cosα±cosβ，sin(α±β)≠sinα±sinβ。但不排除一些特例，如sin(0+α)=sin0+sinα=sinα。

3、當(dāng)α、β中有一個(gè)是的整數(shù)倍時(shí)，應(yīng)首選誘導(dǎo)公式進(jìn)行變形。注意兩角和與差的三角函數(shù)是誘導(dǎo)公式等的基礎(chǔ)，而誘導(dǎo)公式是兩角和與差的三角函數(shù)的特例。

4、關(guān)于公式的正用、逆用及變用

高中數(shù)學(xué)優(yōu)秀教案?篇4

一、教學(xué)內(nèi)容分析

圓錐曲線的定義反映了圓錐曲線的本質(zhì)屬性，它是無數(shù)次實(shí)踐后的高度抽象。恰當(dāng)?shù)乩枚x解題，許多時(shí)候能以簡馭繁。因此，在學(xué)習(xí)了橢圓、雙曲線、拋物線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)后，再一次強(qiáng)調(diào)定義，學(xué)會(huì)利用圓錐曲線定義來熟練的解題”。

二、學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析

我所任教班級(jí)的學(xué)生參與課堂教學(xué)活動(dòng)的積極性強(qiáng)，思維活躍，但計(jì)算能力較差，推理能力較弱，使用數(shù)學(xué)語言的表達(dá)能力也略顯不足。

三、設(shè)計(jì)思想

由于這部分知識(shí)較為抽象，如果離開感性認(rèn)識(shí)，容易使學(xué)生陷入困境，降低學(xué)習(xí)熱情。在教學(xué)時(shí)，借助多媒體動(dòng)畫，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，主動(dòng)參與教學(xué)，在輕松愉快的環(huán)境中發(fā)現(xiàn)、獲取新知，提高教學(xué)效率。

四、教學(xué)目標(biāo)

1、深刻理解并熟練掌握?qǐng)A錐曲線的定義，能靈活應(yīng)用定義解決問題;熟練掌握焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦距、離心率、準(zhǔn)線方程、漸近線、焦半徑等概念和求法;能結(jié)合平面幾何的基本知識(shí)求解圓錐曲線的方程。

2、通過對(duì)練習(xí)，強(qiáng)化對(duì)圓錐曲線定義的理解，提高分析、解決問題的能力;通過對(duì)問題的不斷引申，精心設(shè)問，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)解題的一般方法。

3、借助多媒體輔助教學(xué)，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

五、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：

教學(xué)重點(diǎn)

1、對(duì)圓錐曲線定義的理解

2、利用圓錐曲線的定義求“最值”

3、“定義法”求軌跡方程

教學(xué)難點(diǎn)：

巧用圓錐曲線定義解題

六、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

【設(shè)計(jì)思路】

(一)開門見山，提出問題

一上課，我就直截了當(dāng)?shù)亟o出——

例題1：(1)已知A(—2，0)，B(2，0)動(dòng)點(diǎn)M滿足|MA|+|MB|=2，則點(diǎn)M的軌跡是()。

(A)橢圓(B)雙曲線(C)線段(D)不存在

(2)已知?jiǎng)狱c(diǎn)M(x，y)滿足(x1)2(y2)2|3x4y|，則點(diǎn)M的軌跡是()。

(A)橢圓(B)雙曲線(C)拋物線(D)兩條相交直線

【設(shè)計(jì)意圖】

定義是揭示概念內(nèi)涵的邏輯方法，熟悉不同概念的不同定義方式，是學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)的一個(gè)必備條件，而通過一個(gè)階段的學(xué)習(xí)之后，學(xué)生們對(duì)圓錐曲線的定義已有了一定的認(rèn)識(shí)，他們是否能真正掌握它們的本質(zhì)，是我本節(jié)課首先要弄清楚的問題。

為了加深學(xué)生對(duì)圓錐曲線定義理解，我以圓錐曲線的定義的運(yùn)用為主線，精心準(zhǔn)備了兩道練習(xí)題。

【學(xué)情預(yù)設(shè)】

估計(jì)多數(shù)學(xué)生能夠很快回答出正確答案，但是部分學(xué)生對(duì)于圓錐曲線的定義可能并未真正理解，因此，在學(xué)生們回答后，我將要求學(xué)生接著說出：若想答案是其他選項(xiàng)的話，條件要怎么改?這對(duì)于已學(xué)完圓錐曲線這部分知識(shí)的學(xué)生來說，并不是什么難事。但問題(2)就可能讓學(xué)生們費(fèi)一番周折——如果有學(xué)生提出：可以利用變形來解決問題，那么我就可以循著他的思路，先對(duì)原等式做變形：(x1)2(y2)25這樣，很快就能得出正確結(jié)果。如若不然，我將啟發(fā)他們從等式兩端的式子|3x4y|5入手，考慮通過適當(dāng)?shù)淖冃?，轉(zhuǎn)化為學(xué)生們熟知的兩個(gè)距離公式。

在對(duì)學(xué)生們的解答做出判斷后，我將把問題引申為：該雙曲線的中心坐標(biāo)是，實(shí)軸長為，焦距為。以深化對(duì)概念的理解。

(二)理解定義、解決問題

例2(1)已知?jiǎng)訄AA過定圓B：x2y26x70的圓心，且與定圓C：xy6x910相內(nèi)切，求△ABC面積的最大值。

(2)在(1)的條件下，給定點(diǎn)P(—2，2)，求|PA|

【設(shè)計(jì)意圖】

運(yùn)用圓錐曲線定義中的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使問題化歸為幾何中求最大(小)值的模式，是解析幾何問題中的一種常見題型，也是學(xué)生們比較容易混淆的一類問題。例2的設(shè)置就是為了方便學(xué)生的辨析。

【學(xué)情預(yù)設(shè)】

根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，多數(shù)學(xué)生看上去都能順利解答本題，但真正能完整解答的可能并不多。事實(shí)上，解決本題的關(guān)鍵在于能準(zhǔn)確寫出點(diǎn)A的軌跡，有了練習(xí)題1的鋪墊，這個(gè)問題對(duì)學(xué)生們來講就顯得頗為簡單，因此面對(duì)例2(1)，多數(shù)學(xué)生應(yīng)該能準(zhǔn)確給出解答，但是對(duì)于例2(2)這樣相對(duì)比較陌生的問題，學(xué)生就無從下手。我提醒學(xué)生把3/5和離心率聯(lián)系起來，這樣就容易和第二定義聯(lián)系起來，從而找到解決本題的突破口。

(三)自主探究、深化認(rèn)識(shí)

如果時(shí)間允許，練習(xí)題將為學(xué)生們提供一次數(shù)學(xué)猜想、試驗(yàn)的機(jī)會(huì)——

練習(xí)：設(shè)點(diǎn)Q是圓C：(x1)2225|AB|的最小值。3y225上動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A(1，0)是圓內(nèi)一點(diǎn)，AQ的垂直平分線與CQ交于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的軌跡方程。

引申：若將點(diǎn)A移到圓C外，點(diǎn)M的軌跡會(huì)是什么?

【設(shè)計(jì)意圖】練習(xí)題設(shè)置的目的是為學(xué)生課外自主探究學(xué)習(xí)提供平臺(tái)，當(dāng)然，如果課堂上時(shí)間允許的話，

可借助“多媒體課件”，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)自己的結(jié)論進(jìn)行驗(yàn)證。

【知識(shí)鏈接】

(一)圓錐曲線的定義

1、圓錐曲線的第一定義

2、圓錐曲線的統(tǒng)一定義

(二)圓錐曲線定義的應(yīng)用舉例

1、雙曲線1的兩焦點(diǎn)為F1、F2，P為曲線上一點(diǎn)，若P到左焦點(diǎn)F1的距離為12，求P到右準(zhǔn)線的距離。

2、|PF1||PF2|2。P為等軸雙曲線x2y2a2上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2為兩焦點(diǎn)，O為雙曲線的中心，求的|PO|取值范圍。

3、在拋物線y22px上有一點(diǎn)A(4，m)，A點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)F的距離為5，求拋物線的方程和點(diǎn)A的坐標(biāo)。

4、(1)已知點(diǎn)F是橢圓1的右焦點(diǎn)，M是這橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，A(2，2)是一個(gè)定點(diǎn)，求|MA|+|MF|的最小值。

(2)已知A(，3)為一定點(diǎn)，F(xiàn)為雙曲線1的右焦點(diǎn)，M在雙曲線右支上移動(dòng)，當(dāng)|AM||MF|最小時(shí)，求M點(diǎn)的坐標(biāo)。

(3)已知點(diǎn)P(—2，3)及焦點(diǎn)為F的拋物線y，在拋物線上求一點(diǎn)M，使|PM|+|FM|最小。

5、已知A(4，0)，B(2，2)是橢圓1內(nèi)的點(diǎn)，M是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求|MA|+|MB|的最小值與最大值。

七、教學(xué)反思

1、本課將借助于，將使全體學(xué)生參與活動(dòng)成為可能，使原來令人難以理解的抽象的數(shù)學(xué)理論變得形象，生動(dòng)且通俗易懂，同時(shí)，運(yùn)用“多媒體課件”輔助教學(xué)，節(jié)省了板演的時(shí)間，從而給學(xué)生留出更多的時(shí)間自悟、自練、自查，充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，這充分顯示出“多媒體課件”與探究合作式教學(xué)理念的有機(jī)結(jié)合的教學(xué)優(yōu)勢。

2、利用兩個(gè)例題及其引申，通過一題多變，層層深入的探索，以及對(duì)猜測結(jié)果的檢測研究，培養(yǎng)學(xué)生思維能力，使學(xué)生從學(xué)會(huì)一個(gè)問題的求解到掌握一類問題的解決方法。循序漸進(jìn)的讓學(xué)生把握這類問題的解法;將學(xué)生容易混淆的兩類求“最值問題”并為一道題，方便學(xué)生進(jìn)行比較、分析。雖然從表面上看，我這一堂課的教學(xué)容量不大，但事實(shí)上，學(xué)生們的思維運(yùn)動(dòng)量并不會(huì)小。

總之，如何更好地選擇符合學(xué)生具體情況，滿足教學(xué)目標(biāo)的例題與練習(xí)、靈活把握課堂教學(xué)節(jié)奏仍是我今后工作中的一個(gè)重要研究課題。而要能真正進(jìn)行素質(zhì)教育，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，自己首先必須更新觀念——在教學(xué)中適度使用多媒體技術(shù)，讓學(xué)生有參與教學(xué)實(shí)踐的機(jī)會(huì)，能夠使學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識(shí)的同時(shí)，激發(fā)起求知的欲望，在尋求解決問題的辦法的過程中獲得自信和成功的體驗(yàn)，于不知不覺中改善了他們的思維品質(zhì)，提高了數(shù)學(xué)思維能力。

高中數(shù)學(xué)優(yōu)秀教案?篇5

一、教學(xué)目標(biāo)

【知識(shí)與技能】

在掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程的基礎(chǔ)上，理解記憶圓的一般方程的代數(shù)特征，由圓的一般方程確定圓的圓心半徑，掌握方程x+y+Dx+Ey+F=0表示圓的條件。

【過程與方法】

通過對(duì)方程x+y+Dx+Ey+F=0表示圓的的條件的探究，學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)及分析解決問題的實(shí)際能力得到提高。

【情感態(tài)度與價(jià)值觀】

滲透數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，提高學(xué)生的整體素質(zhì)，激勵(lì)學(xué)生創(chuàng)新，勇于探索。

二、教學(xué)重難點(diǎn)

【重點(diǎn)】

掌握?qǐng)A的一般方程，以及用待定系數(shù)法求圓的一般方程。

【難點(diǎn)】

二元二次方程與圓的一般方程及標(biāo)準(zhǔn)圓方程的關(guān)系。

三、教學(xué)過程

(一)復(fù)習(xí)舊知，引出課題

1、復(fù)習(xí)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，圓心、半徑。

2、提問1：已知圓心為(1，—2)、半徑為2的圓的方程是什么?

數(shù)學(xué)高中教案(篇4)

我們前面學(xué)習(xí)了指數(shù)運(yùn)算,在此基礎(chǔ)上,今天我們要來研究一類新的常見函數(shù)-------.

這類函數(shù)之所以重點(diǎn)介紹的原因就是它是實(shí)際生活中的一種需要.比如我們看下面的問題:

問題1:某種細(xì)胞分裂時(shí),由1個(gè)分裂成2個(gè),2個(gè)分裂成4個(gè),……一個(gè)這樣的細(xì)胞分裂 次后,得到的細(xì)胞分裂的個(gè)數(shù) 與 之間,構(gòu)成一個(gè)函數(shù)關(guān)系,能寫出 與 之間的函數(shù)關(guān)系式嗎?

問題2:有一根1米長的繩子,第一次剪去繩長一半,第二次再剪去剩余繩子的一半,……剪了 次后繩子剩余的長度為 米,試寫出 與 之間的函數(shù)關(guān)系.

在以上兩個(gè)實(shí)例中我們可以看到這兩個(gè)函數(shù)與我們前面研究的函數(shù)有所區(qū)別,從形式上冪的形式,且自變量 均在指數(shù)的位置上,那么就把形如這樣的函數(shù)稱為.

1.定義:形如 的函數(shù)稱為.(板書)教師在給出定義之后再對(duì)定義作幾點(diǎn)說明.

(1) 關(guān)于對(duì) 的規(guī)定:

教師首先提出問題:為什么要規(guī)定底數(shù)大于0且不等于1呢?(若學(xué)生感到有困難,可將問題分解為若 會(huì)有什么問題?如 ,此時(shí) , 等在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)相應(yīng)的函數(shù)值不存在.

若 對(duì)于 都無意義,若 則 無論 取何值,它總是1,對(duì)它沒有研究的必要.為了避免上述各種情況的發(fā)生,所以規(guī)定 且 .

教師引導(dǎo)學(xué)生回顧指數(shù)范圍,發(fā)現(xiàn)指數(shù)可以取有理數(shù).此時(shí)教師可指出,其實(shí)當(dāng)指數(shù)為無理數(shù)時(shí), 也是一個(gè)確定的實(shí)數(shù),對(duì)于無理指數(shù)冪,學(xué)過的有理指數(shù)冪的性質(zhì)和運(yùn)算法則它都適用,所以將指數(shù)范圍擴(kuò)充為實(shí)數(shù)范圍,所以的定義域?yàn)?.擴(kuò)充的另一個(gè)原因是因?yàn)槭顾叽砀袘?yīng)用價(jià)值.

剛才分別認(rèn)識(shí)了中底數(shù),指數(shù)的要求,下面我們從整體的角度來認(rèn)識(shí)一下,根據(jù)定義我們知道什么樣的函數(shù)是,請(qǐng)看下面函數(shù)是否是.

學(xué)生回答并說明理由,教師根據(jù)情況作點(diǎn)評(píng),指出只有(1)和(3)是,其中(3) 可以寫成 ,也是指數(shù)圖象.

最后提醒學(xué)生的定義是形式定義,就必須在形式上一摸一樣才行,然后把問題引向深入,有了定義域和初步研究的函數(shù)的性質(zhì),此時(shí)研究的關(guān)鍵在于畫出它的圖象,再細(xì)致歸納性質(zhì).

作圖的用什么方法.用列表描點(diǎn)發(fā)現(xiàn),教師準(zhǔn)備明確性質(zhì),再由學(xué)生回答.

對(duì)于性質(zhì)1和2可以兩條合在一起說,并追問起什么作用.(確定圖象存在的大致位置)對(duì)第3條還應(yīng)會(huì)證明.對(duì)于單調(diào)性,我建議找一些特殊點(diǎn).,先看一看,再下定論.對(duì)最后一條也是指導(dǎo)函數(shù)圖象畫圖的依據(jù).(圖象位于 軸上方,且與 軸不相交.)

在此基礎(chǔ)上,教師可指導(dǎo)學(xué)生列表,描點(diǎn)了.取點(diǎn)時(shí)還要提醒學(xué)生由于不具備對(duì)稱性,故 的值應(yīng)有正有負(fù),且由于單調(diào)性不清,所取點(diǎn)的個(gè)數(shù)不能太少.

此處教師可利用計(jì)算機(jī)列表描點(diǎn),給出十組數(shù)據(jù),而學(xué)生自己列表描點(diǎn),至少六組數(shù)據(jù).連點(diǎn)成線時(shí),一定提醒學(xué)生圖象的變化趨勢(當(dāng) 越小,圖象越靠近軸, 越大,圖象上升的越快),并連出光滑曲線.

2.草圖:

當(dāng)畫完第一個(gè)圖象之后,可問學(xué)生是否需要再畫第二個(gè)?它是否具有代表性?(教師可提示底數(shù)的條件是 且 ,取值可分為兩段)讓學(xué)生明白需再畫第二個(gè),不妨取 為例.

此時(shí)畫它的圖象的方法應(yīng)讓學(xué)生來選擇,應(yīng)讓學(xué)生意識(shí)到列表描點(diǎn)不是唯一的方法,而圖象變換的方法更為簡單.即 = 與 圖象之間關(guān)于 軸對(duì)稱,而此時(shí) 的圖象已經(jīng)有了,具備了變換的條件.讓學(xué)生自己做對(duì)稱,教師借助計(jì)算機(jī)畫圖,在同一坐標(biāo)系下得到 的圖象.

最后問學(xué)生是否需要再畫.(可能有兩種可能性,若學(xué)生認(rèn)為無需再畫,則追問其原因并要求其說出性質(zhì),若認(rèn)為還需畫,則教師可利用計(jì)算機(jī)再畫出如 的圖象一起比較,再找共性)

由于圖象是形的特征,所以先從幾何角度看它們有什么特征.教師可列一個(gè)表,如下:

以上內(nèi)容學(xué)生說不齊的,教師可適當(dāng)提出觀察角度讓學(xué)生去描述,然后再讓學(xué)生將幾何的特征,翻譯為函數(shù)的性質(zhì),即從代數(shù)角度的描述,將表中另一部分填滿.

填好后,讓學(xué)生仿照此例再列一個(gè) 的表,將相應(yīng)的內(nèi)容填好.為進(jìn)一步整理性質(zhì),教師可提出從另一個(gè)角度來分類,整理函數(shù)的性質(zhì).

3.性質(zhì).

(1)無論 為何值, 都有定義域?yàn)?,值域?yàn)?,都過點(diǎn) .

(2) 時(shí), 在定義域內(nèi)為增函數(shù), 時(shí), 為減函數(shù).

(3) 時(shí), , 時(shí), .

總結(jié)之后,特別提醒學(xué)生記住函數(shù)的圖象,有了圖,從圖中就可以能讀出性質(zhì).

一類函數(shù)研究完它的概念,圖象和性質(zhì)后,最重要的是利用它解決一些簡單的問題.首先我們來看下面的問題.

首先讓學(xué)生觀察兩個(gè)數(shù)的特點(diǎn),有什么相同?由學(xué)生指出它們底數(shù)相同,指數(shù)不同.再追問根據(jù)這個(gè)特點(diǎn),用什么方法來比較它們的大小呢?讓學(xué)生聯(lián)想,提出構(gòu)造函數(shù)的方法,即把這兩個(gè)數(shù)看作某個(gè)函數(shù)的函數(shù)值,利用它的單調(diào)性比較大小.然后以第(1)題為例,給出解答過程.

解: 在 上是增函數(shù),且

(1) 構(gòu)造函數(shù)并指明函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及相應(yīng)的單調(diào)性.

(2) 自變量的大小比較.

(3) 函數(shù)值的大小比較.

后兩個(gè)題的過程略.要求學(xué)生仿照第(1)題敘述過程.

例2.比較下列各組數(shù)的大小(1) 與 ; (2) 與 ;(3) 與 .(板書)

先讓學(xué)生觀察例2中各組數(shù)與例1中的區(qū)別,再思考解決的方法.引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)對(duì)(1)來說 可以寫成 ,這樣就可以轉(zhuǎn)化成同底的問題,再用例1的方法解決,對(duì)(2)來說 可以寫成 ,也可轉(zhuǎn)化成同底的,而(3)前面的方法就不適用了,考慮新的轉(zhuǎn)化方法,由學(xué)生思考解決.(教師可提示學(xué)生的函數(shù)值與1有關(guān),可以用1來起橋梁作用)

最后由學(xué)生說出 >1, .

(1) 構(gòu)造函數(shù)的方法: 數(shù)的特征是同底不同指(包括可轉(zhuǎn)化為同底的)

數(shù)學(xué)高中教案(篇5)

本節(jié)課是數(shù)列的起始課，著重研究數(shù)列的概念，明確數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系，用函數(shù)的思想看待數(shù)列。通過引導(dǎo)學(xué)生通過對(duì)實(shí)例的分析體會(huì)數(shù)列的有關(guān)概念，并與集合類比，通過類比，學(xué)生能認(rèn)識(shí)到數(shù)列的明確性、有序性和可重復(fù)性的特點(diǎn)。在體會(huì)數(shù)列與集合的區(qū)別中，學(xué)生意識(shí)到數(shù)列中的每一項(xiàng)與所在位置有關(guān)，并通研究數(shù)列的表示法，學(xué)生意識(shí)到數(shù)列中還有潛在的自變量——序號(hào)，從而發(fā)現(xiàn)數(shù)列也是一種特殊的函數(shù)，能用函數(shù)的觀點(diǎn)重新看待數(shù)列。

1. 通過自然界和生活中實(shí)例，學(xué)生意識(shí)到有序的數(shù)是存在的，能概況出數(shù)列的概念，并能辨析出數(shù)列和集合的區(qū)別;

2. 通過思考數(shù)列的表示，學(xué)生意識(shí)到可以用表達(dá)式簡潔的表達(dá)數(shù)列，能分析出數(shù)列的項(xiàng)是與序號(hào)相關(guān)，需要借助于序號(hào)來表示數(shù)列的項(xiàng);

3. 在用表達(dá)式表示數(shù)列的過程中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)項(xiàng)與序號(hào)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，認(rèn)識(shí)到數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，能用函數(shù)的觀點(diǎn)重新研究數(shù)列;

4. 通過對(duì)一列數(shù)的觀察，能用聯(lián)系的觀點(diǎn)看待數(shù)列，寫出符合條件的一個(gè)通項(xiàng)公式，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和抽象概括能力.

重點(diǎn)：理解數(shù)列的概念，認(rèn)識(shí)數(shù)列是反映自然規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型 難點(diǎn)：認(rèn)識(shí)數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，發(fā)現(xiàn)數(shù)列與函數(shù)之間的關(guān)系

情境1: 各年樹木的枝干數(shù): 1，1，2，3，5，8，... 情境2:某彗星出現(xiàn)的年份: 1740，1823，1906，1989，2072，...

情境3:細(xì)胞分裂的個(gè)數(shù): 1，2，4，8，16，... 情境4 : A同學(xué)最近6次考試的名次 17, 18, 5, 8, 10, 8

問題1：以上各情境中都有一系列的數(shù)，你看了這些數(shù)，有什么感受?

或者有什么共同特征?

(2)順序不能交換，否則意義不一樣.

設(shè)計(jì)思想:通過例子，學(xué)生感受到數(shù)列在現(xiàn)實(shí)生活中是大量存在的,一列數(shù)的順序是蘊(yùn)含信息的,從而感受到數(shù)列的有序性。

(1)數(shù)列、項(xiàng)的定義：

通過上述的例子，讓學(xué)生思考以上一列數(shù)據(jù)共同的特征，從而歸納出數(shù)列的定義：

按照一定次序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)。 問題2：能否用準(zhǔn)確的語言給我描述一下情境4中的數(shù)列?

設(shè)計(jì)思想：通過讓學(xué)生描述，學(xué)生再次體會(huì)數(shù)列中除了數(shù)之外，還蘊(yùn)含著重要的信息：序號(hào)。

不一樣，第四項(xiàng)，第六項(xiàng)，即每一項(xiàng)結(jié)合序號(hào)才有意義，所以，描述數(shù)列的項(xiàng)時(shí)必須包含位置信息，即序號(hào)。

a1,a2,a3,...,an,...,記為 ?an?

通過與集合的特點(diǎn)進(jìn)行對(duì)比，更清楚的數(shù)列的特點(diǎn)。

讓學(xué)生與前一章學(xué)習(xí)的集合做比較，可以更清楚的了解到數(shù)列的本質(zhì)性的定義。也符合建構(gòu)主義的舊知基礎(chǔ)上形成新知的有效學(xué)習(xí)。

(3)數(shù)列的分類?能不能不講?

問題7: 對(duì)于上述情境中的數(shù)列，有沒有更簡潔的表示方式?

學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生可能會(huì)用序號(hào)n來表示，問學(xué)生為什么用n來表示，引出通項(xiàng)公式的概念

一般地，如果數(shù)列?an?的第n項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示.那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.

問題9：在數(shù)列?an?中，對(duì)于每一個(gè)正整數(shù)n(或n??1,2,...,k?)，是不是都有一個(gè)數(shù)an與之對(duì)應(yīng)?

通過前鋪墊，學(xué)生觀察數(shù)列的項(xiàng)與它數(shù)列中的序號(hào)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，讓學(xué)生理解數(shù)列是函數(shù)。

把序號(hào)看作看作自變量，數(shù)列中的項(xiàng)看作隨之變動(dòng)的量，用函數(shù)的觀點(diǎn)來深化數(shù)列的概念。

問題11：所以，除了用解析式表示數(shù)列，還有哪些方法?

再從函數(shù)的表示方法過渡到數(shù)列的三種表示方法：列表法，圖象法，通項(xiàng)公式法。學(xué)生通過觀察發(fā)現(xiàn)數(shù)列的圖象是一些離散的點(diǎn)。

例2.已知數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式，寫出這個(gè)數(shù)列的前5項(xiàng)，并作出它的圖象： (?1)nn(1)an?; (2).an?n n?12

數(shù)列的圖象是一些孤立的點(diǎn)。

通過學(xué)生觀察數(shù)列的項(xiàng)與它數(shù)列中的序號(hào)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，讓學(xué)生理解數(shù)列是以特殊的函數(shù)，再從函數(shù)的表示方法過度到數(shù)列的三種表示方法：列表法，圖象法，數(shù)列的通項(xiàng)。學(xué)生通過觀察發(fā)現(xiàn)數(shù)列的圖象是一些離散的點(diǎn)。最后通過通項(xiàng)求數(shù)列的項(xiàng)，進(jìn)而升華到觀察數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出數(shù)列的通項(xiàng)。

1.數(shù)列的概念;

2.求數(shù)列的通項(xiàng)公式的要領(lǐng).

數(shù)學(xué)高中教案(篇6)

我本節(jié)課說課的內(nèi)容是高中數(shù)學(xué)第一冊(cè)第二章第六節(jié)“指數(shù)函數(shù)”的第一課時(shí)——指數(shù)函數(shù)的定義，圖像及性質(zhì)。我將嘗試運(yùn)用新課標(biāo)的理念指導(dǎo)本節(jié)課的教學(xué)。新課標(biāo)指出，學(xué)生是教學(xué)的主體，教師的教要應(yīng)本著從學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律出發(fā)，以學(xué)生活動(dòng)為主線，在原有知識(shí)的基礎(chǔ)上，建構(gòu)新的知識(shí)體系。我將以此為基礎(chǔ)從教材分析，教學(xué)目標(biāo)分析，教法學(xué)法分析和教學(xué)過程分析這幾個(gè)方面加以說明。

一、教材分析

1、教材的地位和作用： 函數(shù)是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，函數(shù)的貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)之中。本節(jié)課是學(xué)生在已掌握了函數(shù)的一般性質(zhì)和簡單的指數(shù)運(yùn)算的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究指數(shù)函數(shù)，以及指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)，同時(shí)也為今后研究對(duì)數(shù)函數(shù)以及等比數(shù)列的性質(zhì)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。因此，本節(jié)課的內(nèi)容十分重要，它對(duì)知識(shí)起到了承上啟下的作用。

2、教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)：根據(jù)這一節(jié)課的內(nèi)容特點(diǎn)以及學(xué)生的實(shí)際情況，我將本節(jié)課教學(xué)重點(diǎn)定為指數(shù)函數(shù)的圖像、性質(zhì)及其運(yùn)用，本節(jié)課的難點(diǎn)是指數(shù)函數(shù)圖像和性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)過程，及指數(shù)函數(shù)圖像與底的關(guān)系。

二、教學(xué)目標(biāo)分析

基于對(duì)教材的理解和分析，我制定了以下的教學(xué)目標(biāo)

1、知識(shí)目標(biāo)（直接性目標(biāo)）：理解指數(shù)函數(shù)的定義，掌握指數(shù)函數(shù)的圖像、性質(zhì)及其簡單應(yīng)用

2、能力目標(biāo)（發(fā)展性目標(biāo)）：通過教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納等思維能力，體會(huì)數(shù)形結(jié)合和分類討論，增強(qiáng)學(xué)生識(shí)圖用圖的能力

3、情感目標(biāo)（可持續(xù)性目標(biāo)）： 通過學(xué)習(xí)，使學(xué)生學(xué)會(huì)認(rèn)識(shí)事物的特殊性與一般性之間的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生勇于提問，善于探索的思維品質(zhì)。

三、教法學(xué)法分析

1、教學(xué)策略：首先從實(shí)際問題出發(fā)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。第二步，學(xué)生歸納指數(shù)的圖像和性質(zhì)。第三步，典型例題分析，加深學(xué)生對(duì)指數(shù)函數(shù)的理解。

2、教學(xué)： 貫徹引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)式教學(xué)原則，在教學(xué)中既注重知識(shí)的直觀素材和背景材料，又要激活相關(guān)知識(shí)和引導(dǎo)學(xué)生思考、探究、創(chuàng)設(shè)有趣的問題。

3、教法分析：根據(jù)教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生的狀況， 本節(jié)課我采用引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)式的教學(xué)方法并充分利用多媒體輔助教學(xué)。

數(shù)學(xué)高中教案(篇7)

我們?cè)诔踔械膶W(xué)習(xí)過程中，已了解了整數(shù)指數(shù)冪的概念和運(yùn)算性質(zhì).從本節(jié)開始我們將在回顧平方根和立方根的基礎(chǔ)上，類比出正數(shù)的n次方根的定義，從而把指數(shù)推廣到分?jǐn)?shù)指數(shù).進(jìn)而推廣到有理數(shù)指數(shù)，再推廣到實(shí)數(shù)指數(shù)，并將冪的運(yùn)算性質(zhì)由整數(shù)指數(shù)冪推廣到實(shí)數(shù)指數(shù)冪.

教材為了讓學(xué)生在學(xué)習(xí)之外就感受到指數(shù)函數(shù)的實(shí)際背景，先給出兩個(gè)具體例子：GDP的增長問題和碳14的衰減問題.前一個(gè)問題，既讓學(xué)生回顧了初中學(xué)過的整數(shù)指數(shù)冪，也讓學(xué)生感受到其中的函數(shù)模型，并且還有思想教育價(jià)值.后一個(gè)問題讓學(xué)生體會(huì)其中的函數(shù)模型的同時(shí)，激發(fā)學(xué)生探究分?jǐn)?shù)指數(shù)冪、無理數(shù)指數(shù)冪的興趣與欲望，為新知識(shí)的學(xué)習(xí)作了鋪墊.

本節(jié)安排的內(nèi)容蘊(yùn)涵了許多重要的數(shù)學(xué)思想方法，如推廣的思想(指數(shù)冪運(yùn)算律的推廣)、類比的思想、逼近的思想(有理數(shù)指數(shù)冪逼近無理數(shù)指數(shù)冪)、數(shù)形結(jié)合的思想(用指數(shù)函數(shù)的圖象研究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì))等，同時(shí)，充分關(guān)注與實(shí)際問題的結(jié)合，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值.

根據(jù)本節(jié)內(nèi)容的特點(diǎn)，教學(xué)中要注意發(fā)揮信息技術(shù)的力量，盡量利用計(jì)算器和計(jì)算機(jī)創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，為學(xué)生的數(shù)學(xué)探究與數(shù)學(xué)思維提供支持.

1.通過與初中所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行類比，理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念，進(jìn)而學(xué)習(xí)指數(shù)冪的性質(zhì).掌握分?jǐn)?shù)指數(shù)冪和根式之間的互化，掌握分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì).培養(yǎng)學(xué)生觀察分析、抽象類比的能力.

2.掌握根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化，滲透“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想.通過運(yùn)算訓(xùn)練，養(yǎng)成學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)，一絲不茍的學(xué)習(xí)習(xí)慣，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)來自生活，數(shù)學(xué)又服務(wù)于生活的哲理.

3.能熟練地運(yùn)用有理指數(shù)冪運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行化簡、求值，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S和科學(xué)正確的計(jì)算能力.

4.通過訓(xùn)練及點(diǎn)評(píng)，讓學(xué)生更能熟練掌握指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì).展示函數(shù)圖象，讓學(xué)生通過觀察，進(jìn)而研究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)的簡潔美和統(tǒng)一美.

(1)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪和根式概念的理解.

(2)掌握并運(yùn)用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì).

(3)運(yùn)用有理指數(shù)冪的性質(zhì)進(jìn)行化簡、求值.

(1)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪及根式概念的理解.

思路1.同學(xué)們?cè)陬A(yù)習(xí)的過程中能否知道考古學(xué)家如何判斷生物的發(fā)展與進(jìn)化，又怎樣判斷它們所處的年代?(考古學(xué)家是通過對(duì)生物化石的研究來判斷生物的發(fā)展與進(jìn)化的，第二個(gè)問題我們不太清楚)考古學(xué)家是按照這樣一條規(guī)律推測生物所處的年代的.教師板書本節(jié)課題：指數(shù)函數(shù)——指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算.

思路2.同學(xué)們，我們?cè)诔踔袑W(xué)習(xí)了平方根、立方根，那么有沒有四次方根、五次方根…n次方根呢?答案是肯定的，這就是我們本堂課研究的課題：指數(shù)函數(shù)——指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算.

(1)什么是平方根?什么是立方根?一個(gè)數(shù)的平方根有幾個(gè)，立方根呢?

(2)如x4=a，x5=a，x6=a，根據(jù)上面的結(jié)論我們又能得到什么呢?

(3)根據(jù)上面的結(jié)論我們能得到一般性的結(jié)論嗎?

(4)可否用一個(gè)式子表達(dá)呢?

活動(dòng)：教師提示，引導(dǎo)學(xué)生回憶初中的時(shí)候已經(jīng)學(xué)過的平方根、立方根是如何定義的，對(duì)照類比平方根、立方根的定義解釋上面的式子，對(duì)問題(2)的結(jié)論進(jìn)行引申、推廣，相互交流討論后回答，教師及時(shí)啟發(fā)學(xué)生，具體問題一般化，歸納類比出n次方根的概念，評(píng)價(jià)學(xué)生的思維.

討論結(jié)果：(1)若x2=a，則x叫做a的平方根，正實(shí)數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)，如：4的平方根為±2，負(fù)數(shù)沒有平方根，同理，若x3=a，則x叫做a的立方根，一個(gè)數(shù)的立方根只有一個(gè)，如：-8的立方根為-2.

(2)類比平方根、立方根的定義，一個(gè)數(shù)的四次方等于a，則這個(gè)數(shù)叫a的四次方根.一個(gè)數(shù)的五次方等于a，則這個(gè)數(shù)叫a的五次方根.一個(gè)數(shù)的六次方等于a，則這個(gè)數(shù)叫a的六次方根.

(3)類比(2)得到一個(gè)數(shù)的n次方等于a，則這個(gè)數(shù)叫a的n次方根.

(4)用一個(gè)式子表達(dá)是，若xn=a，則x叫a的n次方根.

教師板書n次方根的意義：

一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根(n th root)，其中n>1且n∈正整數(shù)集.

可以看出數(shù)的平方根、立方根的概念是n次方根的概念的特例.

(1)你能根據(jù)n次方根的意義求出下列數(shù)的n次方根嗎?(多媒體顯示以下題目).

①4的平方根;②±8的立方根;③16的4次方根;④32的5次方根;⑤-32的5次方根;⑥0的7次方根;⑦a6的立方根.

(2)平方根，立方根，4次方根，5次方根，7次方根，分別對(duì)應(yīng)的方根的指數(shù)是什么數(shù)，有什么特點(diǎn)?4，±8，16，-32，32，0，a6分別對(duì)應(yīng)什么性質(zhì) 的數(shù)，有什么特點(diǎn)?

(3)問題(2)中，既然方根有奇次的也有偶次的，數(shù)a有正有負(fù)，還有零，結(jié)論有一個(gè)的，也有兩個(gè)的，你能否總結(jié)一般規(guī)律呢?

(4)任何一個(gè)數(shù)a的偶次方根是否存在呢?

活動(dòng)：教師提示學(xué)生切實(shí)緊扣n次方根的概念，求一個(gè)數(shù)a的n次方根，就是求出的那個(gè)數(shù)的n次方等于a，及時(shí)點(diǎn)撥學(xué)生，從數(shù)的分類考慮，可以把具體的數(shù)寫出來，觀察數(shù)的 特點(diǎn)，對(duì)問題(2)中的結(jié)論，類比推廣引申，考慮要全面，對(duì)回答正確的學(xué)生及時(shí)表揚(yáng)，對(duì)回答不準(zhǔn)確的學(xué)生提示引導(dǎo)考慮問題的思路.

討論結(jié)果：(1)因?yàn)椤?的平方等于4，±2的立方等于±8，±2的4次方等于16,2的5次方等于32，-2的5次方等于-32,0的7次方等于0，a2的立方等于a6，所 以4的平方根，±8的立方根，16的4次方根，32的5次方根，-32的5次方根，0的7次方根，a6的立方根分別是±2，±2，±2,2，-2,0，a2.

(2)方根的指數(shù)是2,3,4,5,7…特點(diǎn)是有奇數(shù)和偶數(shù).總的來看，這些數(shù)包括正數(shù)，負(fù)數(shù)和零.

(3)一個(gè)數(shù)a的奇次方根只有一個(gè)，一個(gè)正數(shù)a的偶次方根有兩個(gè)，是互為相反數(shù).0的任何次方根都是0.

(4)任何一個(gè)數(shù)a的偶次方根不一定存在，如負(fù)數(shù)的偶次方根就不存在，因?yàn)闆]有一個(gè)數(shù)的偶次方是一個(gè)負(fù)數(shù).

類比前面的平方根、立方根，結(jié)合剛才的討論，歸納出一般情形，得到n次方根的性質(zhì)：

①當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，正數(shù)a的n次方根有兩個(gè)，是互為相反數(shù)，正的n次方根用na表示，如果是負(fù)數(shù)，負(fù)的n次方根用-na表示，正的n次方根與負(fù)的n次方根合并寫成±na(a>0).

②n為奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的n次方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的n次方根是一個(gè)負(fù)數(shù)，這時(shí)a的n次方根用符號(hào)na表示.

③負(fù)數(shù)沒有偶次方根;0的任何次方根都是零.

上面的文字語言可用下面的式子表示：

a為正數(shù)：n為奇數(shù)， a的n次方根有一個(gè)為na，n為偶數(shù)， a的n次方根有兩個(gè)為±na.

a為負(fù)數(shù)：n為奇數(shù)， a的n次方根只有一個(gè)為na，n為偶數(shù)， a的n次方根不存在.

零的n次方根為零，記為n0=0.

可以看出數(shù)的平方根、立方根的性質(zhì)是n次方根的性質(zhì)的特例.

根據(jù)n次方根的性質(zhì)能否舉例說明上述幾種情況?

活動(dòng)：教師提示學(xué)生對(duì)方根的性質(zhì)要分類掌握，即正數(shù)的奇偶次方根，負(fù)數(shù)的奇次方根，零的任何次方根，這樣才不重不漏，同時(shí)巡視學(xué)生，隨機(jī)給出一個(gè)數(shù)，我們寫出它的平方根，立方根，四次方根等，看是否有意義，注意觀察方根的形式，及時(shí)糾正學(xué)生在舉例過程中的問題.

解：答案不，比如，64的立方根是4,16的四次方根為±2，-27的5次方根為5-27，而-27的4次方根不存在等.其中5-27也表示方根，它類似于na的形式，現(xiàn)在我們給式子na一個(gè)名稱——根式.

根式的概念：

式子na叫做根式，其中a叫做被開方數(shù)，n叫做根指數(shù).

nan表示an的n次方根，式子nan=a一定成立嗎?如果不一定成立，那么nan等于什么?

活動(dòng)：教師讓學(xué)生注意討論n為奇偶數(shù)和a的符號(hào)，充分讓學(xué)生多舉實(shí)例，分組討論.教師點(diǎn)撥，注意歸納整理.

〔如3(-3)3=3-27=-3，4(-8)4=|-8|=8〕.

n為偶數(shù)，nan=|a|=a，-a，a≥0，a

因此我們得到n次方根的運(yùn)算性質(zhì)：

①(na)n=a.先開方，再乘方(同次)，結(jié)果為被開方數(shù).

②n為奇數(shù)，nan=a.先奇次乘方，再開方(同次)，結(jié)果為被開方數(shù).

n為偶數(shù)，nan=|a|=a，-a，a≥0，a

例 求下列各式的值：

(1)3(-8)3;(2)(-10)2;(3)4(3-π)4;(4)(a-b)2(a>b).

活動(dòng)：求某些式子的值，首先考慮的應(yīng)是什么，明確題目的要求是什么，都用到哪些知識(shí)，關(guān)鍵是啥，搞清這些之后，再針對(duì)每一個(gè)題目仔細(xì)分析.觀察學(xué)生的解題情況，讓學(xué)生展示結(jié)果，抓住學(xué)生在解題過程中出現(xiàn)的問題并對(duì)癥下藥.求下列各式的值實(shí)際上是求數(shù)的方根，可按方根的運(yùn)算性質(zhì)來解，首先要搞清楚運(yùn)算順序，目的是把被開方數(shù)的符號(hào)定準(zhǔn)，然后看根指數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)，如果是奇數(shù)，無需考慮符號(hào)，如果是偶數(shù)，開方的結(jié)果必須是非負(fù)數(shù).

(2)(-10)2=10;

(3)4(3-π)4=π-3;

(4)(a-b)2=a-b(a>b).

點(diǎn)評(píng)：不注意n的奇偶性對(duì)式子nan的值的影響 ，是導(dǎo)致問題出現(xiàn)的一個(gè)重要原因，要在理解的基礎(chǔ)上，記準(zhǔn)，記熟，會(huì)用，活用.

(2)3(3a-3)3(a≤1);

(2)3(3a-3)3(a≤1)=3a-3，

(3)4(3a-3)4=

點(diǎn)評(píng)：本題易錯(cuò)的是第(3)題，往往忽視a與1大小的討論，造成錯(cuò)解.

活動(dòng)：教師提示，這是一道選擇題，本題考查n次方根的運(yùn)算性質(zhì)，應(yīng)首先考慮根據(jù)方根的意義和運(yùn)算性質(zhì)來解，既要考慮被開方數(shù)，又要考慮根指數(shù)，嚴(yán)格按求方根的步驟，體會(huì)方根運(yùn)算的實(shí)質(zhì)，學(xué)生先思考哪些地方容易出錯(cuò)，再回答.

解析：(1)4a4=a，考查n次方根的運(yùn)算性質(zhì)，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，應(yīng)先寫nan=|a|，故A項(xiàng)錯(cuò).

(2)6(-2)2=3-2，本質(zhì)上與上題相同，是一個(gè)正數(shù)的偶次方根，根據(jù)運(yùn)算順序也應(yīng)如此，結(jié)論為6(-2)2=32，故B項(xiàng)錯(cuò).

(3)a0=1是有條件的，即a≠0，故C項(xiàng)也錯(cuò).

(4)D項(xiàng)是一個(gè)正數(shù)的偶次方根，根據(jù)運(yùn)算順序也應(yīng)如此，故D項(xiàng)正確.所以答案選D.

點(diǎn)評(píng)：本題由于考查n次方根的運(yùn)算性質(zhì)與運(yùn)算順序，有時(shí)極易選錯(cuò)，選四個(gè)答案的情況都會(huì)有，因此解題時(shí)千萬要細(xì)心.

例2 3+22+3-22=__________.

活動(dòng)：讓同學(xué)們積極思考，交流討論，本題乍一看內(nèi)容與本節(jié)無關(guān)，但仔細(xì)一想，我們學(xué)習(xí)的內(nèi)容是方根，這里是帶有雙重根號(hào)的式子，去掉一層根號(hào)，根據(jù)方根的運(yùn)算求出結(jié)果是解題的關(guān)鍵，因此將根號(hào)下面的式子化成一個(gè)完全平方式就更為關(guān)鍵了，從何處入手?需利用和的平方公式與差的平方公式化為完全平方式.正確分析題意是關(guān)鍵，教師提示，引導(dǎo)學(xué)生解題的思路.

解析：因?yàn)?+22=1+22+(2)2=(1+2)2=2+1，

3-22=(2)2-22+1=(2-1)2=2-1，

點(diǎn)評(píng)：不難看出3-22與3+22形式上有些特點(diǎn)，即是對(duì)稱根式，是A±2B形式的式子，我們總能找到辦法把其化成一個(gè)完全平方式.

上面的例2還有別的解法嗎?

活動(dòng)：教師引導(dǎo)，去根號(hào)常常利用完全平方公式，有時(shí)平方差公式也可，同學(xué)們觀察兩個(gè)式子的特點(diǎn)，具有對(duì)稱性，再考慮并交流討論，一個(gè)是“+”，一個(gè)是“-”，去掉一層根號(hào)后，相加正好抵消.同時(shí)借助平方差，又可去掉根號(hào)，因此把兩個(gè)式子的和看成一個(gè)整體，兩邊平方即可，探討得另一種解法.

兩邊平方，得x2=3+22+3-22+2(3+22)(3-22)=6+232-(22)2=6+2=8，所以x=22.

點(diǎn)評(píng)：對(duì)雙重二次根式，特別是A±2B形式的式子，我們總能找到辦法將根號(hào)下面的式子化成一個(gè)完全平方式，問題迎刃而解，另外對(duì)A+2B±A-2B的式子，我們可以把它們看成一個(gè)整體利用完全平方公式和平方差公式去解.

若a2-2a+1=a-1，求a的取值范圍.

解：因?yàn)閍2-2a+1=a-1，而a2-2a+1=(a-1)2=|a-1|=a-1，

即a-1≥0，

所以a≥1.

點(diǎn)評(píng)：利用方根的運(yùn)算性質(zhì)轉(zhuǎn)化為去絕對(duì)值符號(hào)，是解題的關(guān)鍵.

2.化簡下列各式：

(1)664;(2)4(-3)2;(3)4x8;(4)6x6y3;(5)(x-y)2.

答案：(1)2;(2)3;(3)x2;(4)|x|y;(5)|x-y|.

3.計(jì)算7+40+7-40=__________.

問題：nan=a與(na)n=a(n>1，n∈N)哪一個(gè)是恒等式，為什么?請(qǐng)舉例說明.

活動(dòng)：組織學(xué)生結(jié)合前面的例題及其解答，進(jìn)行分析討論，解決這一問題要緊扣n次方根的定義.

通過歸納，得出問題結(jié)果，對(duì)a是正數(shù)和零，n為偶數(shù)時(shí)，n為奇數(shù)時(shí)討論一下.再對(duì)a是負(fù)數(shù)，n為偶數(shù)時(shí)，n為奇數(shù)時(shí)討論一下，就可得到相應(yīng)的結(jié)論.

解：(1)(na)n=a(n>1，n∈N).

如果xn=a(n>1，且n∈N)有意義，則無論n是奇數(shù)或偶數(shù)，x=na一定是它的一個(gè)n次方根，所以(na)n=a恒成立.

(2)nan=a，|a|，當(dāng)n為奇數(shù)，當(dāng)n為偶數(shù).

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，a∈R，nan=a恒成立.

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，a∈R，an≥0，nan表示正的n次方根或0，所以如果a≥0，那么nan=a.例如434=3，40=0;如果a

即(na)n=a(n>1，n∈N)是恒等式，nan=a(n>1，n∈N)是有條件的.

點(diǎn)評(píng)：實(shí)質(zhì)上是對(duì)n次方根的概念、性質(zhì)以及運(yùn)算性質(zhì)的深刻理解.

學(xué)生仔細(xì)交流討論后，在筆記上寫出本節(jié)課的學(xué)習(xí)收獲，教師用多媒體顯示在屏幕上.

1.如果xn=a，那么x叫a的n次方根，其中n>1且n∈正整數(shù)集.用式子na表示，式子na叫根式，其中a叫被開方數(shù)，n叫根指數(shù).

(1)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，a的n次方根有兩個(gè)，是互為相反數(shù)，正的n次方根用na表示，如果是負(fù)數(shù)，負(fù)的n次方根用-na表示，正的n次方根與負(fù)的n次方根合并寫成±na(a>0).

(2)n為奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的n次方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的n次方根是一個(gè)負(fù)數(shù)，這時(shí)a的n次方根用符號(hào)na表示.

(3)負(fù)數(shù)沒有偶次方根.0的任何次方根都是零.

2.掌握兩個(gè)公式：n為奇數(shù)時(shí)，(na)n=a，n為偶數(shù)時(shí)，nan=|a|=a，-a，a≥0，a

課本習(xí)題2.1A組 1.

(1)681;(2)15-32;(3)6a2b4.

(2)15-32=-1525=-32;

(3)6a2b4=6(|a|?b2)2=3|a|?b2.

3.5+26+5-26=__________.

解析：對(duì)雙重二次根式，我們覺得難以下筆，我們考慮只有在開方的前提下才可能解出，由此提示我們想辦法去掉一層根式，

不難看出5+26=(3+2)2=3+2.

同理5-26=(3-2)2=3-2.

學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了數(shù)的平方根和立方根，根式的內(nèi)容是這些內(nèi)容的推廣，本節(jié)課由于方根和根式的概念和性質(zhì)難以理解，在引入根式的概念時(shí)，要結(jié)合已學(xué)內(nèi)容，列舉具體實(shí)例，根式na的講解要分n是奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況來進(jìn)行，每種情況又分a>0，a

思路1.碳14測年法.原來宇宙射線在大氣層中能夠產(chǎn)生放射性碳14，并與氧結(jié)合成二氧化碳后進(jìn)入所有活組織，先為植物吸收，再為動(dòng)物吸收，只要植物和動(dòng)物生存著，它們就會(huì)不斷地吸收碳14在機(jī)體內(nèi)保持一定的水平.而當(dāng)有機(jī)體死亡后，即會(huì)停止吸收碳14，其組織內(nèi)的碳14便以約5 730年的半衰期開始衰變并消失.對(duì)于任何含碳物質(zhì)只要測定剩下的放射性碳14的含量，便可推斷其年代(半衰期：經(jīng)過一定的時(shí)間，變?yōu)樵瓉淼囊话?.引出本節(jié)課題：指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算之分?jǐn)?shù)指數(shù)冪.

思路2.同學(xué)們，我們?cè)诔踔袑W(xué)習(xí)了整數(shù)指數(shù)冪及其運(yùn)算性質(zhì)，那么整數(shù)指數(shù)冪是否可以推廣呢?答案是肯定的.這就是本節(jié)的主講內(nèi)容，教師板書本節(jié)課題——指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算之分?jǐn)?shù)指數(shù)冪.

(1)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)是什么?

②a8=(a4)2=a4= ，;

③4a12=4(a3)4=a3= ;

④2a10=2(a5)2=a5= .

(3)利用(2)的規(guī)律，你能表示下列式子嗎?

， ， ， (x>0，m，n∈正整數(shù)集，且n>1).

(4)你能用方根的意義來解釋(3)的式子嗎?

(5)你能推廣到一般的情形嗎?

活動(dòng)：學(xué)生回顧初中學(xué)習(xí)的整數(shù)指數(shù)冪及運(yùn)算性質(zhì)，仔細(xì)觀察，特別是每題的開始和最后兩步的指數(shù)之間的關(guān)系，教師引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)方根的意義，用方根的意義加以解釋，指點(diǎn)啟發(fā)學(xué)生類比(2)的規(guī)律表示，借鑒(2)(3)，我們把具體推廣到一般，對(duì)寫正確的同學(xué)及時(shí)表揚(yáng)，其他學(xué)生鼓勵(lì)提示.

討論結(jié)果：(1)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：an=a?a?a?…?a，a0=1(a≠0);00無意義;

a-n=1an(a≠0);am?an=am+n;(am)n=amn;(an)m=amn;(ab)n=anbn.

(2)①a2是a10的5次方根;②a4是a8的2次方根;③a3是a12的4次方根;④a5是a10的2次方根.實(shí)質(zhì)上①5a10= ，②a8= ，③4a12= ，④2a10= 結(jié)果的a的指數(shù)是2,4,3,5分別寫成了105，82，124，105，形式上變了，本質(zhì)沒變.

根據(jù)4個(gè)式子的最后結(jié)果可以總結(jié)：當(dāng)根式的被開方數(shù)的指數(shù)能被根指數(shù)整除時(shí)，根式可以寫成分?jǐn)?shù)作為指數(shù)的形式(分?jǐn)?shù)指數(shù)冪形式).

(3)利用(2)的規(guī)律，453= ，375= ，5a7= ，nxm= .

(4)53的四次方根是 ，75的三次方根是 ，a7的五次方根是 ，xm的n次方根是 .

結(jié)果表明方根的結(jié)果和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是相通的.

(5)如果a>0，那么am的n次方根可表示為nam= ，即 =nam(a>0，m，n∈正整數(shù)集，n>1).

綜上所述，我們得到正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義，教師板書：

規(guī)定：正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是 =nam(a>0，m，n∈正整數(shù)集，n>1).

(1)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義是怎樣規(guī)定的?

(2)你能得出負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義嗎?

(3)你認(rèn)為應(yīng)怎樣規(guī)定零的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義?

(4)綜合上述，如何規(guī)定分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義?

(5)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義中，為什么規(guī)定a>0，去掉這個(gè)規(guī)定會(huì)產(chǎn)生什么樣的后果?

(6)既然指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù)，那么整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)是否也適用于有理數(shù)指數(shù)冪呢?

活動(dòng)：學(xué)生回想初中學(xué)習(xí)的情形，結(jié)合 自己的學(xué)習(xí)體會(huì)回答，根據(jù)零的整數(shù)指數(shù)冪的意義和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義來類比，把正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義與負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義融合起來，與整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)類比可得有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，教師在黑板上板書，學(xué)生合作交流，以具體的實(shí)例說明a>0的必要性，教師及時(shí)作出評(píng)價(jià).

(2)既然負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義是這樣規(guī)定的，類比正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義可得正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義.

規(guī)定：正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是 = =1nam(a>0，m，n∈=N+，n>1).

(3)規(guī)定：零的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是：零的正分?jǐn)?shù)次冪等于零，零的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義.

(4)教師板書分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義就是：

正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是 =nam(a>0，m，n∈正整數(shù)集，n>1)，正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是 = =1nam(a>0，m，n∈正整數(shù)集，n>1)，零的正分?jǐn)?shù)次冪等于零，零的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義.

(5)若沒有a>0這個(gè)條件會(huì)怎樣呢?

如 =3-1=-1， =6(-1)2=1具有同樣意義的兩個(gè)式子出現(xiàn)了截然不同的結(jié)果，這只說明分?jǐn)?shù)指數(shù)冪在底數(shù)小于零時(shí)是無意義的.因此在把根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)時(shí)，切記要使底數(shù)大于零，如無a>0的條件，比如式子3a2= ，同時(shí)負(fù)數(shù)開奇次方是有意義的，負(fù)數(shù)開奇次方時(shí)，應(yīng)把負(fù)號(hào)移到根式的外邊，然后再按規(guī)定化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，也就是說，負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪在有意義的情況下總表示正數(shù)，而不是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)只是出現(xiàn)在指數(shù)上.

(6)規(guī)定了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義后，指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù).

有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：對(duì)任意的有理數(shù)r，s，均有下面的運(yùn)算性質(zhì)：

①ar?as=ar+s(a>0，r，s∈Q)，

②(ar)s=ars(a>0，r，s∈Q)，

③(a?b)r=arbr(a>0，b>0，r∈Q).

我們利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義和有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)可以解決一些問題，來看下面的例題.

例1 求值：(1) ;(2) ;(3)12-5;(4) .

活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生考慮解題的方法，利用冪的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算出數(shù)值或化成最簡根式，根據(jù)題目要求，把底數(shù)寫成冪的形式，8寫成23,25寫成52，12寫成2-1，1681寫成234，利用有理數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)可以解答，完成后，把自己的答案用投影儀展示出來.

(2) =5-1=15;

(3)12-5=(2-1)-5=2-1×(-5)=32;

(4) =23-3=278.

點(diǎn)評(píng)：本例主要考查冪值運(yùn)算，要按規(guī)定來解.在進(jìn)行冪值運(yùn)算時(shí)，要首先考慮轉(zhuǎn)化為指數(shù)運(yùn)算，而不是首先轉(zhuǎn)化為熟悉的根式運(yùn)算，如 =382=364=4.

例2 用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表示下列各式.

a3?a;a2?3a2;a3a(a>0).

活動(dòng)：學(xué)生觀察、思考，根據(jù)解題的順序，把根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，再由冪的運(yùn)算性質(zhì)來運(yùn)算，根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪時(shí)，要由里往外依次進(jìn)行，把握好運(yùn)算性質(zhì)和順序，學(xué)生討論交流自己的解題步驟，教師評(píng)價(jià)學(xué)生的解題情況，鼓勵(lì)學(xué)生注意總結(jié).

a2?3a2=a2? = ;

a3a= .

點(diǎn)評(píng)：利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義和有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行根式運(yùn)算時(shí)，其順序是先把根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù) 冪，再由冪的運(yùn)算性質(zhì)來運(yùn)算.對(duì)于計(jì)算的結(jié)果，不強(qiáng)求統(tǒng)一用什么形式來表示，沒有特別要求，就用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式來表示，但結(jié)果不能既有分?jǐn)?shù)指數(shù)又有根式，也不能既有分母又有負(fù)指數(shù).

例3 計(jì)算下列各式(式中字母都是正數(shù)).

(1) ;

(2) .

活動(dòng)：先由學(xué)生觀察以上兩個(gè)式子的特征，然后分析，四則運(yùn)算的順序是先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號(hào)的先算括號(hào)內(nèi)的，整數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)及運(yùn)算規(guī)律擴(kuò)充到分?jǐn)?shù)指數(shù)冪后，其運(yùn)算順序仍符合我們以前的四則運(yùn)算順序，再解答，把自己的答案用投影儀展示出來，相互交流，其中要注意到(1)小題是單項(xiàng)式的乘除運(yùn)算，可以用單項(xiàng)式的乘除法運(yùn)算順序進(jìn)行，要注意符號(hào)，第(2)小題是乘方運(yùn)算，可先按積的乘方計(jì)算，再按冪的乘方進(jìn)行計(jì)算，熟悉后可以簡化步驟.

解：(1)原式=[2×(-6)÷(-3)] =4ab0=4a;

(2) =m2n-3=m2n3.

點(diǎn)評(píng)：分?jǐn)?shù)指數(shù)冪不表示相同因式的積，而是根式的另一種寫法.有了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，就可把根式轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算了.

本例主要是指數(shù)冪的運(yùn)算法則的綜合考查和應(yīng)用.

(2)627m3125n64.

(2)627m3125n64= =9m225n4=925m2n-4.

例4 計(jì)算下列各式：

(1)(325-125)÷425;

(2)a2a?3a2(a>0).

活動(dòng)：先由學(xué)生觀察以上兩個(gè)式子的特 征，然后分析，化為同底.利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪計(jì)算，在第(1)小題中，只含有根式，且不是同次根式，比較難計(jì)算，但把根式先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪再計(jì)算，這樣就簡便多了，第(2)小題也是先把根式轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪后再由運(yùn)算法則計(jì)算，最后寫出解答.

= =65-5;

教師用實(shí)物投影儀把題目投射到屏幕上讓學(xué)生解答，教師巡視，啟發(fā)，對(duì)做得好的同學(xué)給予表揚(yáng)鼓勵(lì).

(2)下列各式①4(-4)2n，②4(-4)2n+1，③5a4，④4a5(各式的n∈N，a∈R)中，有意義的是( )

(4)把根式-25(a-b)-2改寫成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式為( )

A. B.

2.計(jì)算：(1) --17-2+ -3-1+(2-1)0=__________.

(2)設(shè)5x=4,5y=2，則52x-y=__________.

3.已知x+y=12，xy=9且x答案：1.(1)D (2)B (3)B (4)A (5)C 2.(1)19 (2)8因?yàn)閤+y=12，xy=9，所以(x-y)2=(x+y)2-4xy=144-36=108=4×27.又因?yàn)閤活動(dòng)：學(xué)生觀察式子特點(diǎn)，考慮x的指數(shù)之間的關(guān)系可以得到解題思路，應(yīng)對(duì)原式進(jìn)行因式分解，根據(jù)本題的特點(diǎn)，注意到：x-1= -13= ;x+1= +13= ;.構(gòu)建解題思路教師適時(shí)啟發(fā)提示.=a-b，=a± +b，=a±b.2.已知 ，探究下列各式的值的求法.(1)a+a-1;(2)a2+a-2;(3) .解：(1)將 ，兩邊平方，得a+a-1+2=9，即a+a-1=7;(2)將a+a-1=7兩邊平方，得a2+a-2+2=49，即a2+ a-2=47;(3)由于 ，所以有 =a+a-1+1=8.點(diǎn)撥：對(duì)“條件求值”問題，一定要弄清已知與未知的聯(lián)系，然后采取“整體代換”或“求值后代換”兩種方法求值.活動(dòng)：教師，本節(jié)課同學(xué)們有哪些收獲?請(qǐng)把你的學(xué)習(xí)收獲記錄在你的筆記本上，同學(xué)們之間相互交流.同時(shí)教師用投影儀顯示本堂課的知識(shí)要點(diǎn)：(1)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義就是：正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是 =nam(a>0，m，n∈正整數(shù)集，n>1)，正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是 = =1nam(a>0，m，n∈正整數(shù)集，n>1)，零的正分?jǐn)?shù)次冪等于零，零的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義.(2)規(guī)定了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義后，指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù).(3)有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：對(duì)任意的有理數(shù)r，s，均有下面的運(yùn)算性質(zhì)：①ar?as=ar+s(a>0，r，s∈Q)，②(ar)s=ars(a>0，r，s∈Q)，③(a?b)r=arbr(a>0，b>0，r∈Q).(4)說明兩點(diǎn)：①分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是一種規(guī)定，我們前面所舉的例子只表明這種規(guī)定的合理性，其中沒有推出關(guān)系.②整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)對(duì)任意的有理數(shù)指數(shù)冪也同樣適用.因而分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式可以互化，也可以利用 =am來計(jì)算.本節(jié)課是分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義的引出及應(yīng)用，分?jǐn)?shù)指數(shù)是指數(shù)概念的又一次擴(kuò)充，要讓學(xué)生反復(fù)理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義，教學(xué)中可以通過根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化來鞏固加深對(duì)這一概念的理解，用觀察、歸納和類比的方法完成，由于是硬性的規(guī)定，沒有合理的解釋，因此多安排一些練習(xí)，強(qiáng)化訓(xùn)練，鞏固知識(shí)，要輔助以信息技術(shù)的手段來完成大容量的課堂教學(xué)任務(wù).思路1.同學(xué)們，既然我們把指數(shù)從正整數(shù)推廣到整數(shù)，又從整數(shù)推廣到正分?jǐn)?shù)到負(fù)分?jǐn)?shù)，這樣指數(shù)就推廣到有理數(shù)，那么它是否也和數(shù)的推廣一樣，到底有沒有無理數(shù)指數(shù)冪呢?回顧數(shù)的擴(kuò)充過程，自然數(shù)到整數(shù)，整數(shù)到分?jǐn)?shù)(有理數(shù))，有理數(shù)到實(shí)數(shù).并且知道，在有理數(shù)到實(shí)數(shù)的擴(kuò)充過程中，增添的數(shù)是無理數(shù).對(duì)無理數(shù)指數(shù)冪，也是這樣擴(kuò)充而來.既然如此，我們這節(jié)課的主要內(nèi)容是：教師板書本堂課的課題〔指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算(3)〕之無理數(shù)指數(shù)冪.思路2.同學(xué)們，在初中我們學(xué)習(xí)了函數(shù)的知識(shí)，對(duì)函數(shù)有了一個(gè)初步的了解，到了高中，我們又對(duì)函數(shù)的概念進(jìn)行了進(jìn)一步的學(xué)習(xí)，有了更深的理解，我們僅僅學(xué)了幾種簡單的函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、三角函數(shù)等，這些遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足我們的需要，隨著科學(xué)的發(fā)展，社會(huì)的進(jìn)步，我們還要學(xué)習(xí)許多函數(shù)，其中就有指數(shù)函數(shù)，為了學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)的知識(shí)，我們必須學(xué)習(xí)實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，為此，我們必須把指數(shù)冪從有理數(shù)指數(shù)冪擴(kuò)充到實(shí)數(shù)指數(shù)冪，因此我們本節(jié)課學(xué)習(xí)：指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算(3)之無理數(shù)指數(shù)冪，教師板書本節(jié)課的課題.(1)我們知道2=1.414 213 56…，那么1.41,1.414,1.414 2,1.414 21，…，是2的什么近似值?而1.42,1.415,1.414 3,1.414 22，…，是2的什么近似值?(2)多媒體顯示以下圖表：同學(xué)們從上面的兩個(gè)表中，能發(fā)現(xiàn)什么樣的規(guī)律?… …(3)你能給上述思想起個(gè)名字嗎?(4)一個(gè)正數(shù)的無理數(shù)次冪到底是一個(gè)什么性質(zhì)的數(shù)呢?如 ，根據(jù)你學(xué)過的知識(shí)，能作出判斷并合理地解釋嗎?(5)借助上面的結(jié)論你能說出一般性的結(jié)論嗎?活動(dòng)：教師引導(dǎo)，學(xué)生回憶，教師提問，學(xué)生回答，積極交流，及時(shí)評(píng)價(jià)學(xué)生，學(xué)生有困惑時(shí)加以解釋，可用多媒體顯示輔助內(nèi)容：問題(1)從近似值的分類來考慮，一方面從大于2的方向，另一方面從小于2的方向.問題(2)對(duì)圖表的觀察一方面從上往下看，再一方面從左向右看，注意其關(guān)聯(lián).問題(3)上述方法實(shí)際上是無限接近，最后是逼近.問題(4)對(duì)問題給予大膽猜測，從數(shù)軸的觀點(diǎn)加以解釋.問題(5)在(3)(4)的基礎(chǔ)上，推廣到一般的情形，即由特殊到一般.討論結(jié)果：(1)1.41,1.414,1.414 2,1.414 21，…這些數(shù)都小于2，稱2的不足近似值，而1.42，1.415,1.414 3,1.414 22，…，這些數(shù)都大于2，稱2的過剩近似值.(2)第一個(gè)表：從大于2的方向逼近2時(shí)， 就從51.5,51.42,51.415,51.414 3,51.414 22，…，即大于 的方向逼近.第二個(gè)表：從小于2的方向逼近2時(shí)， 就從51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21，…，即小于 的方向逼近.從另一角度來看這個(gè)問題，在數(shù)軸上近似地表示這些點(diǎn)，數(shù)軸上的數(shù)字表明一方面 從51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21，…，即小于 的方向接近，而另一方面 從51.5,51.42,51.415,51.414 3,51.414 22，…，即大于 的方向接近，可以說從兩個(gè)方向無限地接近，即逼近，所以 是一串有理數(shù)指數(shù)冪51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21，…，和另一串有理數(shù)指數(shù)冪51.5,51.42,51.415,51.414 3,51.414 22，…，按上述變化規(guī)律變化的結(jié)果，事實(shí)上表示這些數(shù)的點(diǎn)從兩個(gè)方向向表示 的點(diǎn)靠近，但這個(gè)點(diǎn)一定在數(shù)軸上，由此我們可得到的結(jié)論是 一定是一個(gè)實(shí)數(shù)，即51.40，α是無理數(shù))是一個(gè)確定的實(shí)數(shù).也就是說無理數(shù)可以作為指數(shù)，并且它的結(jié)果是一個(gè)實(shí)數(shù)，這樣指數(shù)概念又一次得到推廣，在數(shù)的擴(kuò)充過程中，我們知道有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù).我們規(guī)定了無理數(shù)指數(shù)冪的意義，知道它是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)，結(jié)合前面的有理數(shù)指數(shù)冪，那么，指數(shù)冪就從有理數(shù)指數(shù)冪擴(kuò)充到實(shí)數(shù)指數(shù)冪.(1)為什么在規(guī)定無理數(shù)指數(shù)冪的意義時(shí)，必須規(guī)定底數(shù)是正數(shù)?(2)無理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則是怎樣的?是否與有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則相通呢?(3)你能給出實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則嗎?活動(dòng)：教師組織學(xué)生互助合作，交流探討，引導(dǎo)他們用反例說明問題，注意類比，歸納.對(duì)問題(1)回顧我們學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義時(shí)對(duì)底數(shù)的規(guī)定，舉例說明.對(duì)問題(2)結(jié)合有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則，既然無理數(shù)指數(shù)冪aα(a>0，α是無理數(shù))是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)，那么無理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則應(yīng)當(dāng)與有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則類似，并且相通.對(duì)問題(3)有了有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則和無理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則，實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則自然就得到了.討論結(jié)果：(1)底數(shù)大于零的必要性，若a=-1，那么aα是+1還是-1就無法確定了，這樣就造成混亂，規(guī)定了底數(shù)是正數(shù)后，無理數(shù)指數(shù)冪aα是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)，就不會(huì)再造成混亂.(2)因?yàn)闊o理數(shù)指數(shù)冪是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)，所以能進(jìn)行指數(shù)的運(yùn)算，也能進(jìn)行冪的運(yùn)算，有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，同樣也適用于無理數(shù)指數(shù)冪.類比有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)可以得到無理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則：①ar?as=ar+s(a>0，r，s都是無理數(shù)).②(ar)s=ars(a>0，r，s都是無理數(shù)).③(a?b)r=arbr(a>0，b>0，r是無理數(shù)).(3)指數(shù)冪擴(kuò)充到實(shí)數(shù)后，指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)也就推廣到了實(shí)數(shù)指數(shù)冪.實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：對(duì)任意的實(shí)數(shù)r，s，均有下面的運(yùn)算性質(zhì)：①ar?as=ar+s(a>0，r，s∈R).②(ar)s=ars(a>0，r，s∈R).③(a?b)r=arbr(a>0，b>0，r∈R).(1)0.32.1;(2)3.14-3;(3) ;(4) .活動(dòng)：教師教會(huì)學(xué)生利用函數(shù)計(jì)算器計(jì)算，熟悉計(jì)算器的各鍵的功能，正確輸入各類數(shù)，算出數(shù)值，對(duì)于(1)，可先按底數(shù)0.3，再按xy鍵，再按冪指數(shù)2.1，最后按=，即可求得它的值;對(duì)于(2)，先按底數(shù)3.14，再按xy鍵，再按負(fù)號(hào)-鍵，再按3，最后按=即可;對(duì)于(3)，先按底數(shù)3.1，再按xy鍵，再按3÷4，最后按=即可;對(duì)于(4)，這種無理指數(shù)冪，可先按底數(shù)3，其次按xy鍵，再按 鍵，再按3，最后按=鍵.有時(shí)也可按2ndf或shift鍵，使用鍵上面的功能去運(yùn)算.學(xué)生可以相互交流，挖掘計(jì)算器的用途.解：(1)0.32.1≈0.080;(2)3.14-3≈0.032;(3) ≈2.336;(4) ≈6.705.點(diǎn)評(píng)：熟練掌握用計(jì)算器計(jì)算冪的值的方法與步驟，感受現(xiàn)代技術(shù)的威力，逐步把自己融入現(xiàn)代信息社會(huì);用四舍五入法求近似值，若保留小數(shù)點(diǎn)后n位，只需看第(n+1)位能否進(jìn)位即可.例2 求值或化簡.(1)a-4b23ab2(a>0，b>0);(2) (a>0，b>0);(3)5-26+7-43-6-42.活動(dòng)：學(xué)生觀察，思考，所謂化簡，即若能化為常數(shù)則化為常數(shù)，若不能化為常數(shù)則應(yīng)使所化式子達(dá)到最簡，對(duì)既有分?jǐn)?shù)指數(shù)冪又有根式的式子，應(yīng)該把根式統(tǒng)一化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，便于運(yùn)算，教師有針對(duì)性地提示引導(dǎo)，對(duì)(1)由里向外把根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，要緊扣分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義和運(yùn)算性質(zhì)，對(duì)(2)既有分?jǐn)?shù)指數(shù)冪又有根式，應(yīng)當(dāng)統(tǒng)一起來，化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，對(duì)(3)有多重根號(hào)的式子，應(yīng)先去根號(hào)，這里是二次根式，被開方數(shù)應(yīng)湊完全平方，這樣，把5,7,6拆成(3)2+(2)2,22+(3)2,22+(2)2，并對(duì)學(xué)生作及時(shí)的評(píng)價(jià)，注意總結(jié)解題的方法和規(guī)律.解：(1)a-4b23ab2= =3b46a11 .點(diǎn)評(píng)：根式的運(yùn)算常?；蓛绲倪\(yùn)算進(jìn)行，計(jì)算結(jié)果如沒有特殊要求，就用根式的形式來表示.==425a0b0=425.點(diǎn)評(píng)：化簡這類式子一般有兩種辦法，一是首先用負(fù)指數(shù)冪的定義把負(fù)指數(shù)化成正指數(shù)，另一個(gè)方法是采用分式的基本性質(zhì)把負(fù)指數(shù)化成正指數(shù).=3-2+2-3-2+2=0.點(diǎn)評(píng)：考慮根號(hào)里面的數(shù)是一個(gè)完全平方數(shù)，千萬注意方根的性質(zhì)的運(yùn)用.例3 已知 ，n∈正整數(shù)集，求(x+1+x2)n的值.活動(dòng)：學(xué)生思考，觀察題目的特點(diǎn)，從整體上看，應(yīng)先化簡，然后再求值，要有預(yù)見性， 與 具有對(duì)稱性，它們的積是常數(shù)1，為我們解題提供了思路，教師引導(dǎo)學(xué)生考慮問題的思路，必要時(shí)給予提示.= .這時(shí)應(yīng)看到1+x2= ，這樣先算出1+x2，再算出1+x2，代入即可.所以(x+1+x2)n=== =5.點(diǎn)評(píng)：運(yùn)用整體思想和完全平方公式是解決本題的關(guān)鍵，要深刻理解這種做法.課本習(xí)題2.1A組 3.C. D.解析：根據(jù)本題的特點(diǎn)，注意到它的整體性，特別是指數(shù)的規(guī)律性，我們可以進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?因?yàn)?，所以原式的分子分母同乘以 .2.計(jì)算2790.5+0.1-2+ -3π0+9-0.5+490.5×2-4.=53+100+916-3+13+716=100.3.計(jì)算a+2a-1+a-2a-1(a≥1).解：原式=(a-1+1)2+(a-1-1)2=a-1+1+|a-1-1|(a≥1).本題可以繼續(xù)向下做，去掉絕對(duì)值，作為思考留作課下練習(xí).4.設(shè)a>0， ，則(x+1+x2)n的值為__________.這樣先算出1+x2，再算出1+x2，將 代入1+x2，得1+x2= .所以(x+1+x2)n=參照我們說明無理數(shù)指數(shù)冪的意義的過程，請(qǐng)你說明無理數(shù)指數(shù)冪 的意義.活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生回顧無理數(shù)指數(shù)冪 的意義的過程，利用計(jì)算器計(jì)算出3的近似值，取它的過剩近似值和不足近似值，根據(jù)這些近似值計(jì)算 的過剩近似值和不足近似值，利用逼近思想，“逼出” 的意義，學(xué)生合作交流，在投影儀上展示自己的探究結(jié)果.解：3=1.732 050 80…，取它的過剩近似值和不足近似值如下表.1.8 3.482 202 253 1.7 3.249 009 5851.74 3.340 351 678 1.73 3.317 278 1831.733 3.324 183 446 1.731 3.319 578 3421.732 1 3.322 110 36 1.731 9 3.321 649 8491.732 06 3.322 018 252 1.732 04 3.321 972 21.732 051 3.321 997 529 1.732 049 3.321 992 9231.732 050 9 3.321 997 298 1.732 050 7 3.321 996 8381.732 050 81 3.321 997 091 1.732 050 79 3.321 997 045… … … …我們把用2作底數(shù)，3的不足近似值作指數(shù)的各個(gè)冪排成從小到大的一列數(shù)21.7,21.72,21.731,21.731 9，…，同樣把用2作底數(shù)，3的過剩近似值作指數(shù)的各個(gè)冪排成從大到小的一列數(shù)：21.8,21.74,21.733,21.732 1，…，不難看出3的過剩近似值和不足近似值相同的位數(shù)越多，即3的近似值精確度越高，以其過剩近似值和不足近似值為指數(shù)的冪2α?xí)絹碓节吔谕粋€(gè)數(shù)，我們把這個(gè)數(shù)記為 ，即21.70，α是無理數(shù)) 是一個(gè)確定的實(shí)數(shù).(2)實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：對(duì)任意的實(shí)數(shù)r，s，均有下面的運(yùn)算性質(zhì)：①ar?as=ar+s(a>0，r，s∈R).②(ar)s=ars(a>0，r，s∈R).③(a?b)r=arbr(a>0，b>0，r∈R).無理數(shù)指數(shù)是指數(shù)概念的又一次擴(kuò)充， 教學(xué)中要讓學(xué)生通過多媒體的演示，理解無理數(shù)指數(shù)冪的意義，教學(xué)中也可以讓學(xué)生自己通過實(shí)際情況去探索，自己得出結(jié)論，加深對(duì)概念的理解，本堂課內(nèi)容較為抽象，又不能進(jìn)行推理，只能通過多媒體的教學(xué)手段，讓學(xué)生體會(huì)，特別是逼近的思想、類比的思想，多作練習(xí)，提高學(xué)生理解問題、分析問題的能力.要使式子x-2x-1=x-2x-1成立，需x-1>0，x-2≥0，即x≥2.若x≥2，則式子x-2x-1=x-2x-1成立.故選D.方法二：對(duì)A，式子x-2x-1≥0連式子成立也保證不了，尤其x-2≤0，x-10，∴x-1=0，即x=1.∴32+5+32-5=1.

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