古人云，工欲善其事，必先利其器。在每學(xué)期開(kāi)學(xué)之前，幼兒園的老師們都要為自己之后的教學(xué)做準(zhǔn)備。為了防止學(xué)生抓不住重點(diǎn)，教案就顯得非常重要，有了教案上課才能夠?yàn)橥瑢W(xué)講更多的，更全面的知識(shí)。所以你在寫(xiě)幼兒園教案時(shí)要注意些什么呢？以下內(nèi)容是小編特地整理的“基本不等式課件”，在此提醒你收藏本頁(yè)，以方便閱讀！

基本不等式課件 篇1

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1．知識(shí)與技能：學(xué)會(huì)推導(dǎo)并掌握基本不等式，理解這個(gè)基本不等式的幾何意義，并掌握定理中的不等號(hào)“≥”取等號(hào)的條件是：當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)數(shù)相等；

2．過(guò)程與方法：通過(guò)實(shí)例探究抽象基本不等式；

3．情態(tài)與價(jià)值：通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)，體會(huì)數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣

【能力培養(yǎng)】

培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)、規(guī)范的學(xué)習(xí)能力，分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。

【教學(xué)重點(diǎn)】

應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解不等式，并從不同角度探索不等式 的證明過(guò)程；及其在求最值時(shí)初步應(yīng)用

【教學(xué)難點(diǎn)】

基本不等式 等號(hào)成立條件

【教學(xué)過(guò)程】

一、課題導(dǎo)入

基本不等式 的幾何背景：如圖是在北京召開(kāi)的第24界國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，教師引導(dǎo)學(xué)生從面積的關(guān)系去找不等關(guān)系。

二、講授新課

1．問(wèn)題探究——探究圖形中的不等關(guān)系。

將圖中的“風(fēng)車(chē)”抽象成如圖，在正方形abcd中右個(gè)全等的直角三角形。設(shè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)為a,b那么正方形的邊長(zhǎng)為 。這樣，4個(gè)直角三角形的面積的和是2ab，正方形的面積為 。由于4個(gè)直角三角形的面積小于正方形的面積，我們就得到了一個(gè)不等式： 。

當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切危碼=b時(shí)，正方形efgh縮為一個(gè)點(diǎn)，這時(shí)有 。

2.總結(jié)結(jié)論：一般的，如果

（結(jié)論的得出盡量發(fā)揮學(xué)生自主能動(dòng)性，讓學(xué)生總結(jié)，教師適時(shí)點(diǎn)撥引導(dǎo)）

3．思考證明：（讓學(xué)生嘗試給出它的證明）

4．特別的，如果a>0,b>0,我們用 分別代替a、b ，可得，

通常我們把上式寫(xiě)作：

①?gòu)牟坏仁降男再|(zhì)推導(dǎo)基本不等式

用分析法證明：（略）

②理解基本不等式 的幾何意義

探究：對(duì)課本第98頁(yè)的“探究”（ 幾何證明）

注:在數(shù)學(xué)中，我們稱 為a、b的算術(shù)平均數(shù)，稱 為a、b的幾何平均數(shù)。本節(jié)定理還可敘述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。

5、例：當(dāng)時(shí)，取什么值，的值最??？最小值是多少？

6、課時(shí)小結(jié)

本節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了重要不等式a2＋b2≥2ab；兩正數(shù)a、b的算術(shù)平均數(shù)（ ），幾何平均數(shù)（ ）及它們的關(guān)系（ ≥ ）。它們成立的條件不同，前者只要求a、b都是實(shí)數(shù)，而后者要求a、b都是正數(shù)。它們既是不等式變形的基本工具，又是求函數(shù)最值的重要工具(下一節(jié)我們將進(jìn)一步學(xué)習(xí)它們的應(yīng)用)。

7、作業(yè)：

課本第100頁(yè)習(xí)題[a]組的第1、2題

板書(shū) 設(shè) 計(jì)

課題: 3.4基本不等式

一、兩個(gè)不等式

二、例題及練習(xí)

基本不等式課件 篇2

基本不等式是初中數(shù)學(xué)中重要的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)。通過(guò)學(xué)習(xí)基本不等式，可以幫助學(xué)生更深入地理解不等式的性質(zhì)，掌握不等式的解法和應(yīng)用技巧，以及提高數(shù)學(xué)分析和推理能力。下面就從不等式的定義、基本不等式的證明、基本不等式的應(yīng)用等方面來(lái)詳細(xì)介紹基本不等式。

一、不等式的定義

不等式是數(shù)學(xué)中的一種基本概念，用來(lái)表示兩個(gè)數(shù)之間的大小關(guān)系。比如，如果a>b，則可以表示為a-b>0；如果a≥b，則可以表示為a-b≥0。在不等式中，我們常用符號(hào)“>”、“≥”、“

二、基本不等式的證明

基本不等式是指若a、b為正實(shí)數(shù)，那么(a+b)2/4≥ab。這個(gè)不等式在解決很多數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)都有非常重要的作用，因此我們需要掌握基本不等式的證明方法。

證明方法1：

（a+b）2/4=(a2+2ab+b2)/4= [(a+b)2-2ab]/4

由于a、b為正實(shí)數(shù)，所以(a+b)2和2ab一定是正實(shí)數(shù)。

因此，(a+b)2-2ab≥0，即(a+b)2/4≥ab。

證畢。

證明方法2：

由于a、b為正實(shí)數(shù)，所以(a-b)2≥0。根據(jù)這個(gè)不等式，我們可以推導(dǎo)出：

a2+b2≥2ab

(a2+b2)/2≥ab

(a2+2ab+b2)/4≥ab

(a+b)2/4≥ab

證畢。

證明方法3：

設(shè)Δ=a2-2ab+b2=(a-b)2≥0

那么，a2-2ab+b2≥0，即a2+b2≥2ab

(a2+b2)/2≥ab，即(a+b)2/4≥ab

證畢。

通過(guò)上述三種證明方法，我們可以看到，基本不等式的證明方法可以有多種，但本質(zhì)上是一樣的。

三、基本不等式的應(yīng)用

1.求解最優(yōu)解

在某些問(wèn)題中，需要求解若干變量的最大值或最小值，例如某個(gè)產(chǎn)品的利潤(rùn)最大化問(wèn)題、最短路徑問(wèn)題等，這時(shí)我們可以將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)不等式問(wèn)題，然后運(yùn)用基本不等式來(lái)簡(jiǎn)化求解過(guò)程。

2.推導(dǎo)其他不等式

基本不等式可以作為其他不等式的推導(dǎo)依據(jù)。例如，在求證某個(gè)不等式時(shí)，我們可以使用基本不等式將其轉(zhuǎn)化為更簡(jiǎn)單的形式，從而更容易得到證明。

3.證明集合的包含關(guān)系

當(dāng)我們需要證明兩個(gè)集合的包含關(guān)系時(shí)，可以通過(guò)基本不等式來(lái)構(gòu)造出一些包含于其中一個(gè)集合但不包含于另一個(gè)集合的數(shù)列，這樣就容易得出它們之間的包含關(guān)系。

總之，基本不等式在數(shù)學(xué)中有著非常重要的作用，深入了解和掌握基本不等式，不僅可以提高數(shù)學(xué)思維能力，也可以幫助我們更好地理解和應(yīng)用各種數(shù)學(xué)知識(shí)。

基本不等式課件 篇3

基本不等式是中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，它們可以作用于多種數(shù)學(xué)領(lǐng)域，包括代數(shù)、幾何、概率等等。這種不等式是一個(gè)基本性質(zhì)，它提供了一種有效地組織和比較數(shù)字和數(shù)學(xué)表達(dá)式的方式。本文將探討基本不等式，并解釋其重要性和應(yīng)用范圍。

基本不等式是指一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)規(guī)律，即對(duì)于任何正實(shí)數(shù)a和b，有如下關(guān)系式：

(a + b)2 ≥ 4ab

當(dāng)a和b相等時(shí)等式被取得，此時(shí)有a = b = (a + b) / 2。

這個(gè)不等式看上去非常簡(jiǎn)單，但它有它的特殊地位和應(yīng)用。它是所有不等式中最基本也是最重要的，它可以應(yīng)用到各種自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域中。例如，基本不等式可以用于優(yōu)化無(wú)線網(wǎng)絡(luò)傳輸速度和縮短計(jì)算機(jī)作業(yè)響應(yīng)時(shí)間，還可以在物理和金融領(lǐng)域中被用來(lái)研究變化率和波動(dòng)性等特征。

作為一個(gè)系統(tǒng)的理論工具，基本不等式的價(jià)值和應(yīng)用遠(yuǎn)不止于此。尤其是它的推廣版Sylvester不等式，將基本不等式引向了更復(fù)雜多樣的領(lǐng)域。Sylvester不等式是基本不等式在矩陣學(xué)科中的一個(gè)推廣。它是一個(gè)矩陣不等式，描述了不同形式的矩陣之間的比較規(guī)律。從線性代數(shù)、概率、統(tǒng)計(jì)以及其他領(lǐng)域中的應(yīng)用可以看出，矩陣不等式在各種學(xué)科中都有越來(lái)越廣泛的應(yīng)用。

基本不等式是解決一些數(shù)學(xué)難題的一個(gè)強(qiáng)大工具，在應(yīng)用中經(jīng)常運(yùn)用到。因此，學(xué)生無(wú)論是在數(shù)學(xué)課堂中還是考試中，都應(yīng)該掌握這個(gè)基本數(shù)學(xué)概念，并了解它的應(yīng)用。通過(guò)培養(yǎng)學(xué)生使用基本不等式和它的推廣Sylvester不等式的能力，可以幫助他們更好地掌握高等數(shù)學(xué)中更復(fù)雜的概念和算法。

因此，掌握和理解基本不等式以及它的推廣Sylvester不等式對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者來(lái)說(shuō)非常重要。通過(guò)對(duì)基本不等式的學(xué)習(xí)和掌握，可以幫助學(xué)生完成更復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題，進(jìn)一步培養(yǎng)他們?cè)跀?shù)學(xué)領(lǐng)域的創(chuàng)造性和解決問(wèn)題的能力。

基本不等式課件 篇4

基本不等式是初中數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要內(nèi)容，也被稱為柯西-施瓦茨不等式。它的意義不僅限于初中數(shù)學(xué)，在高中數(shù)學(xué)、大學(xué)數(shù)學(xué)等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。基本不等式是數(shù)學(xué)中非?；A(chǔ)的概念，我們可以通過(guò)以下的主題范文來(lái)深入了解。

主題一：基本不等式的概念及其應(yīng)用

基本不等式是初中數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)概念，它是數(shù)學(xué)不等式中的重要內(nèi)容。它起源于柯西-施瓦茨不等式，可以用于證明不等式以及優(yōu)化問(wèn)題?；静坏仁降谋举|(zhì)是數(shù)學(xué)中的向量?jī)?nèi)積，具有非常廣泛的應(yīng)用，比如在概率論、統(tǒng)計(jì)學(xué)、矩陣論、函數(shù)論、微積分等方面都有應(yīng)用。

主題二：基本不等式的證明方法

基本不等式的證明方法主要有兩種。一種是基于二次函數(shù)的方法，另一種是基于向量?jī)?nèi)積的方法。無(wú)論采用哪種方法，都需要通過(guò)簡(jiǎn)單的代數(shù)變化、平方等方法，將式子變形成為已知的不等式形式。利用這種方法，我們就可以推出基本不等式，從而應(yīng)用到不等式證明等問(wèn)題中。

主題三：基本不等式在函數(shù)極值問(wèn)題中的應(yīng)用

基本不等式在函數(shù)極值問(wèn)題中也有廣泛的應(yīng)用。函數(shù)的極值可以通過(guò)求導(dǎo)數(shù)和函數(shù)值來(lái)求解，而基本不等式可以在求解函數(shù)極值過(guò)程中起到優(yōu)化作用。通過(guò)基本不等式，可以很好地規(guī)避一些數(shù)學(xué)中的陷阱，從而獲得更精確的結(jié)果。因此，基本不等式在函數(shù)極值問(wèn)題中的應(yīng)用是非常重要的。

主題四：基本不等式在概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)中的應(yīng)用

基本不等式在概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)中也有廣泛的應(yīng)用。概率論中的卡方分布、t分布等都是基于基本不等式的優(yōu)化結(jié)果。在統(tǒng)計(jì)學(xué)的研究中，基本不等式可以用于特征值的計(jì)算、回歸分析等方面。因此，基本不等式在概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)中的應(yīng)用也是非常重要的。

主題五：用基本不等式解決數(shù)學(xué)中的“熱點(diǎn)”問(wèn)題

基本不等式是數(shù)學(xué)中的熱點(diǎn)問(wèn)題之一，因?yàn)樗诮鉀Q很多復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題中都起到了重要作用。比如，在組合數(shù)學(xué)中，基本不等式用于計(jì)算多重組合數(shù)。在三角函數(shù)中，基本不等式用于計(jì)算三角函數(shù)的冪的和。在數(shù)值分析中，基本不等式用于優(yōu)化函數(shù)逼近等方面。因此，我們可以用基本不等式解決數(shù)學(xué)中的一些“熱點(diǎn)”問(wèn)題，從而獲得更深入的數(shù)學(xué)技巧。

總的來(lái)說(shuō)，基本不等式是數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要的內(nèi)容，它可以用于解決不等式證明、函數(shù)極值、概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)等領(lǐng)域的問(wèn)題。同時(shí)，基本不等式也是數(shù)學(xué)中的“熱點(diǎn)”問(wèn)題之一，它為我們提供了更深入的數(shù)學(xué)技巧和思維方式。掌握基本不等式不僅可以提高數(shù)學(xué)水平，而且可以在其他領(lǐng)域帶來(lái)更多的收獲。

基本不等式課件 篇5

一、基本不等式的簡(jiǎn)介

基本不等式是初中數(shù)學(xué)中的一項(xiàng)重要內(nèi)容，是不等式的基礎(chǔ)。它可以幫助我們?cè)趯W(xué)習(xí)不等式的過(guò)程中更加輕松的理解和掌握其他不等式的相關(guān)知識(shí)。它的基本形式是：

對(duì)于任意實(shí)數(shù)a1, a2, …, an，有

(a1^2 + a2^2 + … + an^2)×n ≥ (a1 + a2+ … + an)^2

二、基本不等式的證明

基本不等式的證明有多種方法，下面將以幾何證明法和數(shù)學(xué)歸納法為例進(jìn)行講解。

幾何證明法：

首先，我們根據(jù)勾股定理和三角形面積公式有：

a1^2=（a1 cos B1）^2+（a1 sin B1）^2

a2^2=（a2 cos B2）^2+（a2 sin B2）^2

……

an^2=（an cos Bn）^2+（an sin Bn）^2

因?yàn)檎嘞液瘮?shù)在第一象限內(nèi)單調(diào)遞增，所以有：

sinB1

sinB2

……

sinBn

把以上不等式累加起來(lái)并乘以n，則有：

n(a1^2+a2^2+…+an^2)>=〖(a1cosB1+a2cosB2+…+an cosBn)〗^2+n(a1^2sin^2 B1+…..+an^2sin^2 Bn)

顯然，n(a1^2sin^2B1+….+an^2sin^2Bn)=n(a1sinB1+…+ansinBn)^2

因此，原不等式即證。

數(shù)學(xué)歸納法：

當(dāng)n = 2時(shí)，有

a^2 + b^2 >= 2ab

(a - b)^2 >= 0

顯然成立。

假設(shè)n = k - 1時(shí)原不等式成立，即

(a1^2 + a2^2 + … + ak-1^2) × (k - 1) >= (a1 + a2 + … + ak-1)^2

當(dāng)n = k時(shí)，原不等式變?yōu)椋?/p>

(a1^2 + a2^2 + … + ak-1^2 + ak^2) × k >= (a1 + a2 + … + ak-1 + ak)^2

因?yàn)?a1^2 + a2^2 + … + ak-1^2) × (k - 1) >= (a1 + a2 + … + ak-1)^2

又因?yàn)?a1^2 + a2^2 + … + ak^2) × 1 >= ak^2

因此有：

(a1^2 + a2^2 + … + ak-1^2) × (k - 1) + (a1^2 + a2^2 + … + ak^2) × 1 >= (a1 + a2 + … + ak-1)^2 + ak^2

即

(a1^2 + a2^2 + … + ak^2) × k >= (a1 + a2 + … + ak)^2

因此，當(dāng)n = k時(shí)，原不等式也成立。

綜合上述兩種證明方法，我們可知，基本不等式是正確的。

三、應(yīng)用基本不等式需要注意的問(wèn)題

1. 基本不等式只適用于a1, a2, …, an均為實(shí)數(shù)的情形，不適用于其中有虛數(shù)的情形。

2. 如果不等式兩側(cè)都除以n的話，可以得到一個(gè)均值不等式：

(a1 + a2 + … + an) / n >= √(a1^2 + a2^2 + … + an^2)

這就是均值不等式的形式。

3. 基本不等式是一個(gè)有力的數(shù)學(xué)工具，它可以用于解決許多數(shù)學(xué)問(wèn)題。 但在應(yīng)用時(shí)，我們需要注意題目的條件，判斷是否可以應(yīng)用，以免掉進(jìn)錯(cuò)誤的陷阱。

四、結(jié)語(yǔ)

綜上所述，基本不等式在初中數(shù)學(xué)中是一項(xiàng)基礎(chǔ)性的內(nèi)容，它的正確性是數(shù)學(xué)歸納法和幾何證明法所證明的。應(yīng)用時(shí)需要注意題目的條件，判斷是否可以應(yīng)用。相信通過(guò)學(xué)習(xí)和掌握基本不等式，我們可以更加輕松的掌握其他不等式的相關(guān)知識(shí)。

基本不等式課件 篇6

教學(xué)目的

掌握不等式的基本性質(zhì)，會(huì)用不等式的基本性質(zhì)進(jìn)行不等式的變形。

教學(xué)過(guò)程

師：我們已學(xué)過(guò)等式，不等式，現(xiàn)在我們來(lái)看兩組式子（教師出示小黑板中的兩組式子），請(qǐng)同學(xué)們觀察，哪些是等式？哪些是不等式？

第一組：1+2=3; a+b=b+a; S =ab; 4+x =7。

第二組：-7 1+4; 2x ≤6， a+2 ≥0; 3≠4。

生：第一組都是等式，第二組都是不等式。

師：那么，什么叫做等式？什么叫做不等式？

生：表示相等關(guān)系的式子叫做等式；表示不等式的式子叫做不等式。

師：在數(shù)學(xué)熾，我們用等號(hào)“=”來(lái)表示相等關(guān)系，用不等式號(hào)“〈”、“〉”或“≠”表示不等關(guān)系，其中“＞”和“＜”表示大小關(guān)系。表示大小關(guān)系的不等式是我們中學(xué)教學(xué)所要研究的。

前面我們學(xué)過(guò)了等式，同學(xué)們還記得等式的性質(zhì)嗎？

生：等式有這樣的性質(zhì)：等式兩邊都加上，或都減去，或都乘以，或都除以（ 除數(shù)不為零）同一個(gè)數(shù)，所得到的仍是等式。

師：很好！當(dāng)我們開(kāi)始研究不等式的時(shí)候，自然會(huì)聯(lián)想到，是否有與等式相類(lèi)似的性質(zhì)，也就是說(shuō)，如果在不等式的兩邊都加上，或都減去，或都乘以，或都除經(jīng)（除數(shù)不為零）同一個(gè)數(shù)，結(jié)果將會(huì)如何呢？讓我們先做一些試驗(yàn)練習(xí)。

練習(xí)1 (回答)用小于號(hào)“”填空。

（1）7 ___ 4;

（2）- 2____6;

（3）- 3_____ -2；

（4）- 4_____-6

練習(xí)2（口答）分別從練習(xí)1中四個(gè)不等式出發(fā)，進(jìn)行下面的運(yùn)算。

（1）兩邊都加上（或都減去）5，結(jié)果怎樣？不等號(hào)的方向改變了嗎？

（2）兩邊都乘以（或都除以）5，結(jié)果怎樣？不等號(hào)的方向改變了嗎？

（3）兩邊都乘以（或都除以）（-5），結(jié)果怎樣？不等號(hào)的方向改變了嗎？

生：我們發(fā)現(xiàn)：在練習(xí)2中，第（1）、（2）題的結(jié)果是不等號(hào)的方向不變；在第（3）題中，結(jié)果是不等號(hào)的方向改變了！

師：同學(xué)們觀察得很認(rèn)真，大家再進(jìn)一步探討一下，在什么情況下不等號(hào)的方向就會(huì)發(fā)生改變呢？

生甲：在原不等式的兩邊都乘以（或除以）一個(gè)負(fù)數(shù)的情況下，不等號(hào)的方向要改變。

師：有沒(méi)有不同的意見(jiàn)？大家都同意他的看法嗎？可能還有同學(xué)不放心，讓我們?cè)僮鲆恍┰囼?yàn)。

練習(xí)3（口答）分別在下面四個(gè)不等式的兩邊都以乘以（可除以）-2，看看不等號(hào)的方向是否改變：

7＞4；-2＜6；-3＜-2；-4＞-6。

師：現(xiàn)在我們可以歸納出不等式的基本性質(zhì)，一般地說(shuō)，不等式的基本性質(zhì)有三條：

性質(zhì)1：不等式的兩邊都加上（或都減去）同一個(gè)數(shù)，不等號(hào)的方向 。

（讓同學(xué)回答。）

性質(zhì)2：不等式的兩邊都乘以（或都除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向 。（讓同學(xué)回答。）

性質(zhì)3：不等式的兩邊都乘以（或都除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向 。（讓同學(xué)回答。）

現(xiàn)在請(qǐng)大家翻開(kāi)課本，一起朗讀用黑體字寫(xiě)的三條基本性質(zhì)。

不等式的這三條基本性質(zhì)，都可以用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)，先請(qǐng)一位同學(xué)說(shuō)一說(shuō)第一條基本性質(zhì)。

生：如果a＜b。那么a+c＜b+c（或a-c＜b-c；如果a＞b，那么a+c＞b+c（或a-c＞b-c）。

師：對(duì)a和b有什么要求嗎？對(duì)c有什么要求？

生：沒(méi)有什么要求。

師：哪位同學(xué)來(lái)回答第二、三條性質(zhì)？

生甲：如果a0， 那么acb，且c>0，那么ac>bc(或

生乙：如果abc(或 )；如果a>b，且cb，且c>0，那么ac>bd;(2)如果a>b，那么ac2>bc2;(3)如果ac2>bc2，那么a>b;(4)如果a>b，那么a-b>0;(5)如果ax>b，且a≠0，那么xa;生甲：（1）不對(duì)，當(dāng)c=d≤0時(shí)，ac＞bd不成立。生乙：（2）也不對(duì)，因?yàn)閏2是一個(gè)非負(fù)數(shù)，當(dāng)c=0時(shí)，ac2＞bc2不成立。生丙：（3）對(duì)，因?yàn)閍c2＞bc2成立，則c2一定大于零，根據(jù)不等式基本性質(zhì)2，得a＞b出。（4）對(duì)，根據(jù)不等式基本性質(zhì)，由a＞b，兩邊減去b得a-b＞0。（5）不對(duì)，當(dāng)a＜0時(shí)，根據(jù)不等式基本性質(zhì)3，得。（6）不對(duì)，因?yàn)楫?dāng)b＜0時(shí)，根據(jù)不等式基本性質(zhì)1，得a+b＜a；而當(dāng)b=0時(shí)，則有a+b=a。師：同學(xué)們回答得很好。今天我們學(xué)習(xí)了不等式的基本性質(zhì)，我們不僅要理解這三條性質(zhì)，還要能靈活運(yùn)用。課外做以下作業(yè)：略。教案說(shuō)明（1） 不等式的基本性質(zhì)的教學(xué)，是分成兩個(gè)階段進(jìn)行的。在初中階段，對(duì)不等式的基本性質(zhì)，并不作證明，只引導(dǎo)學(xué)生用試驗(yàn)的方法，歸納出三條基本性質(zhì)。通過(guò)試驗(yàn)，由特殊到一般，由具體到抽象，這是一種認(rèn)識(shí)事物規(guī)律的重要方法?？茖W(xué)上的許多發(fā)現(xiàn)，大多離不開(kāi)試驗(yàn)和觀察。大數(shù)學(xué)家歐拉說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)這門(mén)科學(xué)，需要觀察，也需要試驗(yàn)。”通過(guò)教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生掌握由試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)規(guī)律的方法，具有重要的意義。當(dāng)然通過(guò)幾個(gè)特殊的試驗(yàn)，就得出一般的結(jié)論，是不嚴(yán)密的。但對(duì)初中學(xué)生來(lái)說(shuō)，初次接觸不等式，是不能要求那么嚴(yán)密的。（2） 不等式的基本性質(zhì)的教學(xué)，還應(yīng)采用對(duì)比的方法。學(xué)生已學(xué)過(guò)等式和等式的性質(zhì)，為了便于和加深對(duì)不等式基本性質(zhì)的理解，在教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)將不等式的性質(zhì)與等式的性質(zhì)加以比較：強(qiáng)調(diào)等式的兩邊都加上或減去，都乘以或除以（除數(shù)不能為零）同一個(gè)數(shù)，所得到的仍是等式，這個(gè)數(shù)可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)或零；而在不等式的兩邊都加上或減去，都乘以或除以（除數(shù)不能為零）同一個(gè)數(shù)，當(dāng)這個(gè)數(shù)是正數(shù)、負(fù)數(shù)或零時(shí)，對(duì)不等式的方向，有什么不同的影響。通過(guò)這樣的對(duì)比，不但可以復(fù)習(xí)已學(xué)過(guò)的等式有關(guān)知識(shí)，便于引入新課，而且也有利于掌握不等式的基本性質(zhì)。對(duì)比的方法，也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種重要方法。（3） 在應(yīng)用不等式的基本性質(zhì)對(duì)不等式進(jìn)行變形時(shí)，學(xué)生對(duì)不等式兩邊是具體數(shù)，判定大小關(guān)系比較容易。因?yàn)檫@實(shí)際上是有理數(shù)大小的比較。對(duì)于不等式兩邊是含字母的代數(shù)式時(shí)，根據(jù)題給的條件，運(yùn)用不等式基本性質(zhì)判別大小關(guān)系或不等號(hào)方向，就比較困難。因?yàn)樗容^抽象，特別是在運(yùn)用不等式的基本性質(zhì)2和性質(zhì)3時(shí)，學(xué)生必須考慮不等式兩邊同乘（或同除）的這個(gè)用字母表示的數(shù)的符號(hào)是什么，或者還要對(duì)這個(gè)用字母表示的數(shù)，按正數(shù)、負(fù)數(shù)或零三種情況加以討論。在教學(xué)過(guò)程中，對(duì)于這類(lèi)題目，采用討論法是比較好的。因?yàn)樵谟懻摃r(shí)，學(xué)生可以充分發(fā)表各種見(jiàn)解。對(duì)于正確的見(jiàn)解，教師可以讓學(xué)生說(shuō)出解題的依據(jù)；對(duì)于錯(cuò)誤的見(jiàn)解，教師可以進(jìn)行啟發(fā)引導(dǎo)，發(fā)動(dòng)學(xué)生自己找出錯(cuò)誤的原因，自己修正見(jiàn)解。這樣，有利于發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，有的放矢地解決問(wèn)題，有利于深化對(duì)不等式基本性質(zhì)的認(rèn)識(shí)。

基本不等式課件 篇7

基本不等式教學(xué)設(shè)計(jì)

數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 鐘林

課題：人教A版必修5第3章4節(jié)，基本不等式

【教學(xué)目標(biāo)】

1.通過(guò)兩個(gè)探究實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生從幾何圖形中獲得兩個(gè)基本不等式，了解基本不等式的幾何背景，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想。

2.進(jìn)一步提煉、完善基本不等式，并從代數(shù)角度給出不等式的證明，組織學(xué)生分析證明方法，加深對(duì)基本不等式的認(rèn)識(shí)，提高邏輯推理論證能力。 3.結(jié)合課本的探究圖形，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步探究基本不等式的幾何解釋，強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合的思想。

4.借助例1嘗試用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最值問(wèn)題，通過(guò)例2及其變式引導(dǎo)學(xué)生

a?b領(lǐng)會(huì)運(yùn)用基本不等式ab?的三個(gè)限制條件（一正二定三相等）在解決最

2值中的作用，提升解決問(wèn)題的能力，體會(huì)方法與策略。

【重點(diǎn)難點(diǎn)】

重點(diǎn)：應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解基本不等式，并從不同角度探索不等式a?bab?的證明過(guò)程。

2難點(diǎn)：在幾何背景下抽象出基本不等式，并理解基本不等式。

【教學(xué)設(shè)計(jì)】

（一）問(wèn)題導(dǎo)入

欣賞2002年國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)徽，會(huì)徽是根據(jù)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，顏色的明暗使它看上去象一個(gè)風(fēng)車(chē)，代表中國(guó)人民熱情好客。你能發(fā)現(xiàn)它是什么圖形構(gòu)成的嗎？請(qǐng)根據(jù)會(huì)徽探索一些常見(jiàn)相等或不等關(guān)系。

探究一：在這張“弦圖”中能找出一些相等關(guān)系和不等關(guān)系嗎？ 在正方形ABCD中有4個(gè)全等的直角三角形．設(shè)直角三角形兩條直角邊長(zhǎng)為，a,b。

22a?b那么正方形的邊長(zhǎng)為。

于是，4個(gè)直角三角形的面積之和S1?2ab。 正方形的面積S2?a2?b2。 由圖可知S2?S1，即a2?b2?2ab。

當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切危磿r(shí)，正方形EFGH縮為一個(gè)點(diǎn)，這時(shí) a2?b2?2ab

所以a2?b2?2ab。

探究二：如下圖所示的梯形中，EF是梯形ABCD的中位線，梯形ABGH相似于梯 形GHDC。

梯形ABCD的上底是a，下底是b。讓同學(xué)們自主研究GH和EF的大小關(guān)系。

a?b因?yàn)镋F是中位線，所以EF?，

2由相似，可以得出GH?ab， 同樣因?yàn)橄嗨?，?/p>

AGABa， ??GDGHb又因?yàn)閍?b，所以AG?GD，即AG?AE，

a?b。 2顯然，當(dāng)AB逐漸趨近CD的時(shí)候，GH也逐漸向EF靠近， 當(dāng)AB=CD的時(shí)候，即ABCD是矩形的時(shí)候，GH與EF重合。

a?b即，當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí)，ab?。

2a?b所以，ab?，當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí)，等號(hào)成立。

2所以GH?EF,即ab?

（二）概念深入

根據(jù)上述兩個(gè)幾何背景，初步形成不等式結(jié)論：

若a,b?R?，則a2?b2?2ab。（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立）

a?b。（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立） 2請(qǐng)同學(xué)們運(yùn)用代數(shù)法證明： 作法一（作差法）： 若a,b?R?，則ab?a2?b2?2ab?(a?b)2?0a?b?2ab22

當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立。且發(fā)現(xiàn)這里且a和b可以是全體實(shí)數(shù)、單項(xiàng)式、多項(xiàng)式。

作法二（分析法）：

要證明a?b?ab， 2只需證明a?b?2ab， 即證a?b-2ab?0， 即為?a-b?2?0，該式顯然成立，所以，當(dāng)a?b時(shí)取等號(hào)。

于是有這樣的結(jié)論：

稱ab為a,b的幾何平均數(shù)；稱基本不等式ab?a?b為a,b的算術(shù)平均數(shù)， 2a?b又可敘述為： 2兩個(gè)正數(shù)的幾何平均數(shù)不大于它們的算術(shù)平均數(shù)

作法三（幾何法）：

如圖，AB是圓O的直徑，點(diǎn)C是AB上一點(diǎn)，AC=a，BC=b．過(guò)點(diǎn)C作 垂直于AB的弦DE，連接AD,BD。 從而有CD?ab,OD?a?b。 2a?b。 2a?b當(dāng)且僅當(dāng)C點(diǎn)與圓心O點(diǎn)重合時(shí)，即a=b時(shí)，ab?

2故再次證明：

a?ba?0,b?0,ab?，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立。

2a?b也說(shuō)明了ab?的幾何意義：半徑不小于半弦。

2由于直角三角形COD中，直角邊CD

（三）例題講解

例1.（1）用籬笆圍一個(gè)面積為100平方米的矩形菜園，問(wèn)這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，所用籬笆最短，最短的籬笆是多少？

（2）一段長(zhǎng)為36米的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園，問(wèn)這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬為多少時(shí)，菜園的面積最大，最大面積是多少？

（通過(guò)例1的講解，總結(jié)歸納利用基本不等式求最值問(wèn)題的特征,實(shí)現(xiàn)積與和的轉(zhuǎn)化）

對(duì)于x,y?R?，

（1）若xy?p（定值），則當(dāng)且僅當(dāng)x?y時(shí)，x?y有最小值2p；

s2（2）若x?y?s（定值），則當(dāng)且僅當(dāng)x?y時(shí)，xy有最大值。

4（鼓勵(lì)學(xué)生自己探索推導(dǎo)，不但可使他們加深基本不等式的理解，還鍛煉了他們的思維，培養(yǎng)了勇于探索的精神。）

1例2.求y?x?(x?0)的值域。

x1變式1.若x?2，求x?的最小值．

x?21在運(yùn)用基本不等式解題的基礎(chǔ)上，利用幾何畫(huà)板展示y?x?(x?0)的函數(shù)

x圖象，使學(xué)生再次感受數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。

a?b并通過(guò)例2及其變式引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)會(huì)運(yùn)用基本不等式ab?的三個(gè)限制

2條件（一正二定三相等）在解決最值問(wèn)題中的作用，提升解決問(wèn)題的能力，體會(huì)方法與策略。

（四）歸納小結(jié)&課后作業(yè) 基本不等式：

若a,b?R?，則a2?b2?2ab。（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立）

a?b。（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立） 2（1）基本不等式的幾何解釋（數(shù)形結(jié)合思想）； （2）運(yùn)用基本不等式解決簡(jiǎn)單最值問(wèn)題的基本方法。

作業(yè)：A組第4題，B組第1題，第2題

若a,b?R?，則ab?

基本不等式課件 篇8

基本不等式課件

基本不等式是初中數(shù)學(xué)中的重要知識(shí)點(diǎn)之一，在學(xué)習(xí)這個(gè)知識(shí)點(diǎn)之前，我們先來(lái)了解下基本不等式的定義和公式：

定義：若a1，a2，...，an是n個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)，則有

(a1+a2+...+an）/n≥（a1×a2×...×an）的n次方根。

公式：(a1+a2+...+an）/n≥（a1×a2×...×an）的n次方根。

這個(gè)公式的意義是，當(dāng)n個(gè)數(shù)的平均值不小于這n個(gè)數(shù)的相乘積的n次方根時(shí)，我們就稱這個(gè)不等式為基本不等式。

基本不等式的意義很重要，它是一種實(shí)用的數(shù)學(xué)工具，能夠結(jié)合實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行運(yùn)用。在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，我們經(jīng)常需要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，計(jì)算某一組數(shù)的平均值?；静坏仁礁嬖V我們，對(duì)于一組非負(fù)實(shí)數(shù)，它們的平均值一定不小于它們的幾何平均數(shù)。

下面我們來(lái)看一個(gè)簡(jiǎn)單的實(shí)例：

假設(shè)有兩組數(shù)，分別為2,3,4和1,2,8，現(xiàn)在我們需要比較這兩組數(shù)哪一組平均值較大。

我們可用基本不等式進(jìn)行求解：

對(duì)于2,3,4，有（2+3+4）/3=3，（2×3×4）的1/3次方≈2.83，所以有3≥2.83。

對(duì)于1,2,8，有（1+2+8）/3=3.67，（1×2×8）的1/3次方≈2.19，所以有3.67≥2.19。

通過(guò)比較，我們可以發(fā)現(xiàn)，第一組數(shù)的平均值是小于第二組數(shù)的平均值的。

基本不等式雖然簡(jiǎn)單，但是在實(shí)際應(yīng)用中有著廣泛的應(yīng)用。例如在金融學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域中，我們需要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，計(jì)算平均值?；静坏仁侥軌驇椭覀冞M(jìn)行更加精確的計(jì)算，從而提高研究的準(zhǔn)確性和可靠性。

在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，基本不等式也是一道基礎(chǔ)題，掌握好它的原理和應(yīng)用方法，就能夠輕松應(yīng)對(duì)數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的各種不等式題，提升自己的數(shù)學(xué)能力。

綜上所述，基本不等式是一項(xiàng)非常實(shí)用的數(shù)學(xué)工具，它能夠幫助我們進(jìn)行數(shù)據(jù)分析和計(jì)算，提高研究的準(zhǔn)確性和可靠性。在數(shù)學(xué)的應(yīng)用和研究中，掌握好基本不等式的原理和應(yīng)用方法非常重要。

基本不等式課件 篇9

課題：3.4.3　基本不等式 的應(yīng)用(二) 科目：數(shù)學(xué) 教學(xué)對(duì)象：高二(290)學(xué)生 課時(shí)：1課時(shí) 提供者：劉和安 單位： 姚安一中 一、教學(xué)內(nèi)容分析 本節(jié)課的研究是起到了對(duì)學(xué)生以前所學(xué)知識(shí)與方法的復(fù)習(xí)、應(yīng)用，進(jìn)而構(gòu)建他們更完善的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)與鍛煉是數(shù)學(xué)教學(xué)的一項(xiàng)長(zhǎng)期而艱苦的任務(wù)，這一點(diǎn)，在本節(jié)課是真正得到了體現(xiàn)和落實(shí)。?

根據(jù)本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容，應(yīng)用觀察、閱讀、歸納、邏輯分析、思考、合作交流、探究，對(duì)基本不等式展開(kāi)實(shí)際應(yīng)用，進(jìn)行啟發(fā)、探究式教學(xué)并使用投影儀輔助。? 二、教學(xué)目標(biāo) (一)知識(shí)目標(biāo)：構(gòu)建基本不等式解決函數(shù)的值域、最值問(wèn)題；

(二)能力目標(biāo)：讓學(xué)生探究用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題

(三)情感、態(tài)度和價(jià)值觀目標(biāo)：

通過(guò)具體問(wèn)題的解決，讓學(xué)生去感受、體驗(yàn)現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在著大量的不等量關(guān)系并需要從理性的角度去思考，鼓勵(lì)學(xué)生用數(shù)學(xué)觀點(diǎn)進(jìn)行類(lèi)比、歸納、抽象，使學(xué)生感受數(shù) 學(xué)、走進(jìn)數(shù)學(xué)、培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣和良好的思維習(xí)慣；? 三、學(xué)習(xí)者特征分析 在本節(jié)課的教學(xué)過(guò)程中，仍應(yīng)強(qiáng)調(diào)不等式的現(xiàn)實(shí)背景和實(shí)際應(yīng)用，真正地把不等式作為刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界中不等關(guān)系的工具。通過(guò)實(shí)際問(wèn)題的分析解決，讓學(xué)生去體會(huì)基本不等式所具有的廣泛的實(shí)用價(jià)值，同時(shí)，也讓學(xué)生去感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，從而激發(fā)學(xué)生去熱愛(ài)數(shù)學(xué)、研究數(shù)學(xué)。而不是覺(jué)得數(shù)學(xué)只是一門(mén)枯燥無(wú)味的推理學(xué)科。在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，既要求學(xué)生能用數(shù)學(xué)的眼光、觀點(diǎn)去看待現(xiàn)實(shí)生活中的許多問(wèn)題，又會(huì)涉及與函數(shù)、方程、三角等許多數(shù)學(xué)本身的知識(shí)與方法的處理 四、教學(xué)策略選擇與設(shè)計(jì) 1.采用探究法，按照觀察、閱讀、歸納、思考、交流、邏輯分析、抽象應(yīng)用的方法進(jìn)行啟發(fā)式教學(xué)；?

2.教師提供問(wèn)題、素材，并及時(shí)點(diǎn)撥，發(fā)揮老師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體作用；?

3.設(shè)計(jì)較典型的具有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生去積極思考，從而培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣。?? 五、教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn) 教學(xué)重點(diǎn)：1.構(gòu)建基本不等式解決函數(shù)的值域、最值問(wèn)題。?

2.讓學(xué)生探究用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題；?

教學(xué)難點(diǎn)：1.讓學(xué)生探究用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題；?

2.基本不等式應(yīng)用時(shí)等號(hào)成立條件的考查；?

六、教學(xué)過(guò)程 教師活動(dòng) 學(xué)生活動(dòng) 設(shè)計(jì)意圖 (一)導(dǎo)入新課

(二)推進(jìn)新課

已知 ，若ab為常數(shù)k，那么a+b的值如何變化？

若a+b為常數(shù)s，那么ab的值如何變化？

老師用投影儀給出本節(jié)課的第一組問(wèn)題

(1)求函數(shù)y=2x2+ (x>0)的最小值。?

(2)求函數(shù)y=x2+ (x>0)的最小值。?

(3)求函數(shù)y=3x2-2x3(0

(4)求函數(shù)y=x(1-x2)(0

(5)設(shè)a>0，b>0，且a2+ =1，求 的最大值。?

(三)合作探究 我們來(lái)考慮運(yùn)用正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)之間的關(guān)系來(lái)解答這些問(wèn)題。根據(jù)函數(shù)最值的含義，我們不難發(fā)現(xiàn)若平均值不等式的某一端為常數(shù)，則當(dāng)?shù)忍?hào)能夠取到時(shí)，這個(gè)常數(shù)即為另一端的一個(gè)最值。 ?

(四)例題精析？

【例】某工廠要建造一個(gè)長(zhǎng)方體形無(wú)蓋貯水池，其容積為4 800 m3，深為 3 m.如果池底每平方米的造價(jià)為150元，池壁每平方米的造價(jià)為120元，怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造價(jià)最低？最低總造價(jià)是多少？

當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，a+b就有最小值為2k.?

當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，ab就有最大值 (或ab有 最大值 ).?

學(xué)生完成

留五分鐘的時(shí)間讓學(xué)生思考，合作交流

(根據(jù)學(xué)生完成的典型情況，找五位學(xué)生到黑板板演，然后老師根據(jù)學(xué)生到黑板板演的完成情況再一次作點(diǎn)評(píng))?

學(xué)生思考、回答，

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