俗話說，磨刀不誤砍柴工。為了使每堂課能夠順利的進展，教師通常會準備好下節(jié)課的教案，優(yōu)秀的教案能幫老師們更好的解決學習上的問題，教案為學生帶來更好的聽課體驗，從而提高聽課效率。寫好一份優(yōu)質的幼兒園教案要怎么做呢？下面，我們?yōu)槟阃扑]了2024余弦定理教案分享八篇，供您參考，并請收藏本頁！
正弦定理是使學生在已有知識的基礎上，通過對三角形邊角關系的研究，發(fā)現(xiàn)并掌握三角形中的邊長與角度之間的數(shù)量關系，提出兩個實際問題，并指出解決問題的關鍵在于研究三角形中的邊、角關系，從而引導學生產生探索愿望，激發(fā)學生學習的興趣。在教學過程中，要引導學生自主探究三角形的邊角關系，先由特殊情況發(fā)現(xiàn)結論，再對一般三角形進行推導證明,并引導學生分析正弦定理可以解決兩類關于解三角形的'問題：
(1)已知兩角和一邊，解三角形：
(2)已知兩邊和其中一邊的對角，解三角形。
本節(jié)授課對象是高一學生，是在學生學習了必修④基本初等函數(shù)Ⅱ和三角恒等變換的基礎上，由實際問題出發(fā)探索研究三角形邊角關系，得出正弦定理。高一學生對生產生活問題比較感興趣，由實際問題出發(fā)可以激起學生的學習興趣，使學生產生探索研究的愿望。
根據(jù)上述教材結構與內容分析，立足學生的認知水平，制定如下教學目標和重、難點。
1.知識與技能：
(1)引導學生發(fā)現(xiàn)正弦定理的內容，探索證明正弦定理的方法;
(2)簡單運用正弦定理解三角形、初步解決某些與測量和幾何計算有關的實際問題
2.過程與方法：
通過對定理的探究，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律的思維方法與能力;通過對定理的證明和應用，培養(yǎng)學生獨立解決問題的能力和體會分類討論和數(shù)形結合的思想方法.
3.情感、態(tài)度與價值觀：
(1)通過對三角形邊角關系的探究學習，經歷數(shù)學探究活動的過程，體會由特殊到一般再由一般到特殊的認識事物規(guī)律，培養(yǎng)探索精神和創(chuàng)新意識;
(2)通過本節(jié)學習和運用實踐，體會數(shù)學的科學價值、應用價值，學習用數(shù)學的思維方式解決問題、認識世界,進而領會數(shù)學的人文價值、美學價值，不斷提高自身的文化修養(yǎng).
教學難點：1.正弦定理的推導. 2.正弦定理的運用.
學法：開展“動腦想、嚴格證、多交流、勤設問”的研討式學習方法，逐漸培 養(yǎng)學生“會觀察”、 “會類比”、“會分析”、“會論證”的能力，
整堂課圍繞“一切為了學生發(fā)展”的教學原則，突出：①動——師生互動、共同探索;②導——教師指導、循序漸進。
(1)新課引入——提出問題, 激發(fā)學生的求知欲。
(2)掌握正弦定理的推導證明——分類討論，數(shù)形結合，動腦思考,由特殊到一般，組織學生自主探索,獲得正弦定理及證明過程。
(3)例題處理——始終從問題出發(fā)，層層設疑，讓他們在探索中自得知識。
(4)鞏固練習——深化對正弦定理的理解，并結合遼寧數(shù)學高考理科17題文科18題，鞏固新知。
一、教材分析：（說教材）
《余弦定理》是全日制中等國家規(guī)劃教材（人教版）數(shù)學第一冊中第六章平面向量第六部分。余弦定理是歐氏空間度量幾何的最重要定理，是解斜三角形的重要定理，是整個測量學的基礎。余弦定理是勾股定理的推廣，可用解析法、向量法等方法證明。余弦定理主要能解決有關三角形的三類問題：
1）、已知兩邊及其夾角，求第三邊和其他兩個角。
2）、已知三邊求三個內角；
3）、判斷三角形的形狀。以及相關的證明題。
二、說教學思路
本著數(shù)學與專業(yè)有機結合的指導思想，讓數(shù)學服務于專業(yè)的需要。以及最大限度的提高學生的學習興趣，在本節(jié)課，我不是將余弦定理簡單呈現(xiàn)給學生，而是創(chuàng)造設情境，設計了與機械相關聯(lián)并具有愛國主題的二個任務，通過任務驅動法教學，極大提高了學生的學習興趣，激發(fā)學生探索新知識的強烈求知欲望，在完成數(shù)學教學任務的同時，強化了數(shù)學與專業(yè)的有機結合，培養(yǎng)了學生將數(shù)學知識運用于自身專業(yè)中的能力。同時通過任務驅動，培養(yǎng)了學生自主探究式學習的能力；提升解決實際實際問題的能力。因為所設計的兩個任務具有愛國主義題材，學生在完成知識學習的同時，也極大的激發(fā)了愛國主義精神。
三、說教法
在確定教學方法前，首先要求教師吃透教材，選擇恰當?shù)慕虒W方法和教學手段把知識傳授給學生。本節(jié)課主要采用任務驅動法、引導發(fā)現(xiàn)法、觀察法、歸納總結法、講練結合法。并采用電教手段使用多媒體輔助教學。
1.任務驅動法
教師精心設計與機械專業(yè)相關聯(lián)的二個任務，作為貫穿整節(jié)課的主線，通過具體任務的完成，提高學生學習的興趣，激發(fā)求知欲，啟發(fā)學生對問題進行思考。在研究過程中，激發(fā)學生探索新知識的強烈欲望。提升解決實際總是的能力，并極大的激發(fā)了愛國主義精神。
2.引導發(fā)現(xiàn)法、觀察法
通過對勾股定理的觀察和三角形直角的相關變形，學生從中受啟發(fā)，發(fā)現(xiàn)余弦定理，并證明它。
3.歸納總結法
學生通過前期的探索研究，自主歸納總結出余弦定理及其推論及判斷三角形形狀的相關規(guī)律。
4.講練結合法
講授充分發(fā)揮教師主導作用，引導學生自主學習。練習讓學生從多角度對所學定理進行認知，及時鞏固所學的知識，鍛煉了解決實際問題的能力，發(fā)揮出學生的主觀能動性，成為學習的主體。
四、說學法
學生學法主要有觀察、分析、發(fā)現(xiàn)、自主探究、小組協(xié)作等方法。經教師啟發(fā)、誘導，學生通過觀察與分析去發(fā)現(xiàn)并證明余弦定理，培養(yǎng)歸納與猜想、抽象與概括等邏輯思維能力，訓練思維品質。
五、教學目標
（一）知識目標
1、使學生掌握余弦定理及其證明。
2、使學生初步掌握應用余弦定理解斜三角形。
1
（二）能力目標
1、培養(yǎng)學生在本專業(yè)范圍內熟練運用余弦定理解決實際問題的能力。
2、通過啟發(fā)、誘導學生發(fā)現(xiàn)和證明余弦定理的過程，培養(yǎng)學生觀察、分析、歸納、猜想、抽象、概括等邏輯思維能力。
3、通過對余弦定理的推導，培養(yǎng)學生的知識遷移能力和建模意識，及合作學習的意識。
（三）德育目標
1、培養(yǎng)學生的愛國主義精神、及團結、協(xié)作精神。
2、通過三角函數(shù)、余弦定理、向量的數(shù)量積等知識的聯(lián)系理解事物之間普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。
六、教學重點
教學重點是余弦定理及應用余弦定理解斜三角形；
七、教學難點
分析勾股定理的結構特征，從而突破發(fā)現(xiàn)余弦定理，應用余弦定理解斜三角形。八、教學過程
教學中注重突出重點、突破難點，從五個層次進行教學。
創(chuàng)設情境、任務驅動；
引導探究、發(fā)現(xiàn)定理；
完成任務、應用遷移；
拓展升華、交流反思；
小結歸納、布置作業(yè)。
（一）、導入
1、教師創(chuàng)設情境設置二個任務，做為貫穿本課的主線和數(shù)學與專業(yè)有機結合的鈕帶，通過完成這二個任務，達到掌握余弦定理并學會應用的目標。
2、通過與直角三角形勾股定理引出余弦定理（快樂起點）經教師啟發(fā)、誘導，學生通過探索研究，合理猜想來發(fā)現(xiàn)余弦定理。
（二）、新課
3.證明猜想，導出余弦定理及余弦定理的變形
經過嚴密邏輯推理證明得出余弦定理，這一過程中，鍛煉了學生觀察、分析、歸納、猜想、抽象、概括等邏輯思維能力。
4.解決二個任務
5.操作演練，鞏固提高。
6.小結：
通過學生口答方式小結，讓學生強化記憶，分清重點，深化對余弦定理的理解。
7.作業(yè)：
分層布置作業(yè)，根據(jù)不同層次學生將作業(yè)分為必做題和選做題。使不同程度的學生都有所提高
八、板書設計
板書是課堂教學重要部分，為再現(xiàn)知識體系，突出重點，將余弦定理知識體系展示在板書中，利于學生加深印象，理清思路。
九、課后反思
在教學設計上，采用任務驅動，教師精心設計與機械專業(yè)相關聯(lián)的二個任務，作為貫穿整節(jié)課的主線，通過具體任務的完成，即提高學生學習的興趣，又激發(fā)求知欲；知識點學習則循序漸進，符合學生的認知特點。經教師啟發(fā)、誘導，學生通過觀察、分析、發(fā)現(xiàn)、自主探究、小組協(xié)作等方法在獲取新知的同時，培養(yǎng)了歸納與猜想、抽象與概括等邏輯思維能力。
教材分析這是高三一輪復習，內容是必修5第一章解三角形。本章內容準備復習兩課時。本節(jié)課是第一課時。標要求本章的中心內容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后應落實在解三角形的應用上。通過本節(jié)學習，學生應當達到以下學習目標：
（1）通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，掌握正弦定理、余弦定理解三角形。
（2）能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法判斷三角形形狀的問題。本章內容與三角函數(shù)、向量聯(lián)系密切。
作為復習課一方面將本章知識作一個梳理，另一方面通過整理歸納幫助學生進一步達到相應的學習目標。
學情分析學生通過必修5的學習，對正弦定理、余弦定理的內容已經了解，但對于如何靈活運用定理解決實際問題，怎樣合理選擇定理進行邊角關系轉化從而解決三角形綜合問題，學生還需通過復習提點有待進一步理解和掌握。
教學目標知識目標：
（1）學生通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，掌握正弦、余弦定理的內容及其證明方法；會運用正、余弦定理與三角形內角和定理，面積公式解斜三角形的兩類基本問題。
（2）學生學會分析問題，合理選用定理解決三角形綜合問題。
能力目標：
培養(yǎng)學生提出問題、正確分析問題、獨立解決問題的能力，培養(yǎng)學生在方程思想指導下處理解三角形問題的運算能力，培養(yǎng)學生合情推理探索數(shù)學規(guī)律的數(shù)學思維能力。
情感目標：
通過生活實例探究回顧三角函數(shù)、正余弦定理，體現(xiàn)數(shù)學來源于生活，并應用于生活，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，并體會數(shù)學的應用價值，在教學過程中激發(fā)學生的探索精神。
教學方法探究式教學、講練結合
重點難點
1、正、余弦定理的對于解解三角形的合理選擇；
2、正、余弦定理與三角形的有關性質的綜合運用。
教學策略
1、重視多種教學方法有效整合；
2、重視提出問題、解決問題策略的指導。
3、重視加強前后知識的密切聯(lián)系。
4、重視加強數(shù)學實踐能力的'培養(yǎng)。
5、注意避免過于繁瑣的形式化訓練
6、教學過程體現(xiàn)“實踐→認識→實踐”。
設計意圖：
學生通過必修5的學習，對正弦定理、余弦定理的內容已經了解，但對于如何靈活運用定理解決實際問題，怎樣合理選擇定理進行邊角關系轉化從而解決三角形綜合問題，學生還需通過復習提點有待進一步理解和掌握。作為復習課一方面要將本章知識作一個梳理，另一方面要通過整理歸納幫助學生學會分析問題，合理選用并熟練運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決三角形綜合問題和實際應用問題。
數(shù)學思想方法的教學是中學數(shù)學教學中的重要組成部分，有利于學生加深數(shù)學知識的理解和掌握。雖然是復習課，但我們不能一味的講題，在教學中應體現(xiàn)以下教學思想：
⑴重視教學各環(huán)節(jié)的合理安排：
在生活實踐中提出問題，再引導學生帶著問題對新知進行探究，然后引導學生回顧舊知識與方法，引出課題。激發(fā)學生繼續(xù)學習新知的欲望，使學生的知識結構呈一個螺旋上升的狀態(tài)，符合學生的認知規(guī)律。
⑵重視多種教學方法有效整合，以講練結合法、分析引導法、變式訓練法等多種方法貫穿整個教學過程。
⑶重視提出問題、解決問題策略的指導。
人教版數(shù)學必修5§1.1.2余弦定理的教學設計
一、教學目標解析
1、使學生掌握余弦定理及推論，并會初步運用余弦定理及推論解三角形。
2、通過對三角形邊角關系的探究，能證明余弦定理，了解從三角方法、解析方法、向量方法和正弦定理等途徑證明余弦定理。
3、在發(fā)現(xiàn)和證明余弦定理中，通過聯(lián)想、類比、轉化等思想方法比較證明余弦定理的不同方法，從而培養(yǎng)學生的發(fā)散思維。
4、能用余弦定理解決生活中的實際問題，可以培養(yǎng)學生學習數(shù)學的興趣，使學生進一步認識到數(shù)學是有用的。
二、教學問題診斷分析
1、通過前一節(jié)正弦定理的學習，學生已能解決這樣兩類解三角形的問題： ①已知三角形的任意兩個角與邊，求其他兩邊和另一角；
②已知三角形的任意兩個角與其中一邊的對角，計算另一邊的對角，進而計算出其他的邊和角。
而在已知三角形兩邊和它們的夾角，計算出另一邊和另兩個角的問題上，學生產生了認知沖突，這就迫切需要他們掌握三角形邊角關系的另一種定量關系。所以，教學的重點應放在余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明上。
2、在以往的教學中存在學生認知比較單一，對余弦定理的證明方法思考也比較單一，而本節(jié)的教學難點就在于余弦定理的證明。如何啟發(fā)、引導學生經過聯(lián)想、類比、轉化多角度地對余弦定理進行證明，從而突破這一難點。
3、學習了正弦定理和余弦定理，學生在解三角形中，如何適當?shù)剡x擇定理以達到更有效地解題，也是本節(jié)內容應該關注的問題，特別是求某一個角有時既可以用余弦定理，也可以用正弦定理時，教學中應注意讓學生能理解兩種方法的利弊之處，從而更有效地解題。
三、教學支持條件分析
為了將學生從繁瑣的計算中解脫出來，將精力放在對定理的證明和運用上，所以本節(jié)中復雜的計算借助計算器來完成。當使用計算器時，約定當計算器所得的三角函數(shù)值是準確數(shù)時用等號，當取其近似值時，相應的運算采用約等號。但一般的代數(shù)運算結果
按通常的運算規(guī)則，是近似值時用約等號。
四、教學過程設計
1、教學基本流程：
①從一道生活中的實際問題的解決引入問題，如何用已知的兩條邊及其所夾的角來表示第三條邊。
②余弦定理的證明：啟發(fā)學生從不同的角度得到余弦定理的證明，或引導學生自己探索獲得定理的證明。
③應用余弦定理解斜三角形。
2、教學情景：
①創(chuàng)設情境，提出問題
問題1：現(xiàn)有卷尺和測角儀兩種工具，請你設
計合理的方案，來測量學校生物島邊界上兩點的最
大距離（如圖1所示，圖中AB的長度）。
【設計意圖】：來源于生活中的問題能激發(fā)學
生的學習興趣，提高學習積極性。讓學生進一步體
會到數(shù)學來源于生活，數(shù)學服務于生活。
師生活動：教師可以采取小組合作的形式，讓學生設計方案嘗
試解決。
學生1—方案1：如果卷尺足夠長的話，可以在島對岸小路上取
C一點C（如圖2），用卷尺量出AC和BC的長，用
測角儀測出∠ACB的大小，那么△ABC的大小就
可以確定了。感覺似乎在△ABC中已知AC、BC的長及夾角C的大小，可以求AB的長了。
其他學生有異議，若卷尺沒有足夠長呢？
學生2—方案2：在島對岸可以取C、D 兩點
（如圖3），用卷尺量出CD的長，再用測角儀測出
圖中∠
1、∠
2、∠
3、∠4的大小。在△ACD中，已知∠ACD、∠ADC及CD，可以用正弦定理求AC，同理在△
BCD中，用正弦定理求出BC。那么在△ABC中，已知AC、BC及∠ACB，似乎可以求AB的長了。
教師：兩種方案歸根到底都是已知三角形兩邊及夾角，求第三邊的問題。能否也象正弦定理那樣，尋找它們之間的某種定量關系？
【設計意圖】給學生足夠的空間和展示的平臺，充分發(fā)揮學生的主體地位。②求異探新，證明定理
問題2：在△ABC中，∠C = 90°，則用勾股定理就可以得到c2=a2+b2。
【設計意圖】：引導學生從最簡單入手，從而通過添加輔助線構造直角三角形。師生活動：引導學生從特殊入手，用已有的初中所學的平面幾何的有關知識來研究這一問題，從而尋找出這些量之間存在的某種定量關系。
學生3：在△ABC中，如圖4，過C作CD⊥AB，垂足為D。
在Rt△ACD中，AD=bsin∠1,CD= bcos∠1;
在Rt△BCD中，BD=asin∠2, CD=acos∠2;
c=(AD+BD)=b-CD+a-CD+2AD?BD
= a?b?2abcos?1?cos?2?2absin?1?sin?
2=a?b?2abcos(?1??2)
?a?b?2abcosC2222222222
AD圖
4學生4：如圖5，過A作AD⊥BC，垂足為D。
則：c?AD?BD
22222?b?CD?(a?CD)
?a?b?2a?CD
?a?b?2abcosC22222A圖
5學生5：如圖5，AD = bsinC，CD = bcosC，∴c=（bsinC）+（a-bcosC）= a+b-2abcosC
類似地可以證明b= a+c-2accosB，c= a+b-2abcosC。
教師總結：以上的證明都是把斜三角形轉化為兩個直角三角形，化一般為特殊，再利用勾股定理來證明。并且進一步指出以上的證明還不嚴密，還要分∠C為鈍角或直角時，同樣都可以得出以上結論，這也正是本節(jié)課的重點—余弦定理。
【設計意圖】：首先肯定學生成果，進一步的追問以上思路是否完整，可以使學生的思維更加嚴密。
師生活動：得出了余弦定理，教師還應引導學生聯(lián)想、類比、轉化，思考是否還有2 22 2 22 22 2
2其他方法證明余弦定理。
教師：在前面學習正弦定理的證明過程種，我們用向量法比較簡便地證明了正弦定理，那么在余弦定理的證明中，你會有什么想法？
【設計意圖】：通過類比、聯(lián)想，讓學生的思維水平得到進一步鍛煉和提高，體驗到成功的樂趣。
學生6：如圖6，????????????記AB?c,CB?a,CA?b????????????則c?AB?CB?CA?a?b???22?（c）?（a?b）
?2?2???a?b?2a?b
?2?2?2??即c?a?b?2a?b?cosC
?c?a?b?2abcosC222A
圖6
教師：以上的證明避免了討論∠C是銳角、鈍角或直角，思路簡潔明了，過程簡單，體現(xiàn)了向量工具的作用。又向量可以用坐標表示，AB長度又可以聯(lián)系到平面內兩點間的距離公式，你會有什么啟發(fā)？
【設計意圖】：由向量又聯(lián)想到坐標，引導學生從直角坐標中用解析法證明定理。學生7：如圖7，建立直角坐標系，在△ABC中，AC =
b，BC = a.且A（b，0），B（acosC，asinC），C（0，0），則 c?AB22?(acosC?b)?(asinC)
2222 ?a?b?2abcosC
【設計意圖】：通過以上平面幾何知識、向量法、解析法引導學生體會證明余弦定理，更好地讓學生主動投入到整個數(shù)學學習的過程中，培養(yǎng)學生發(fā)散思維能力，拓展學生思維空間的深度和廣度。
③運用定理，解決問題
讓學生觀察余弦定理及推論的構成形式，思考用余弦定理及推論可以解決那些類型的三角形問題。
例1：①在△ABC中，已知a = 2，b = 3，∠C = 60°，求邊c。
②在△ABC中，已知a = 7，b = 3，c = 5，求A、B、C。
【設計意圖】：讓學生理解余弦定理及推論解決兩類最基本問題，既①已知三角形兩邊及夾角，求第三邊；②已知三角形三邊，求三內角。
④小結
本節(jié)課的主要內容是余弦定理的證明，從平面幾何、向量、坐標等各個不同的方面進行探究，得出的余弦定理無論在什么形狀的三角形中都成立，勾股定理也只不過是它的特例。所以它很“完美”，從式子上又可以看出其具“簡捷、和諧、對稱”的美，其變式即推論也很協(xié)調。
【設計意圖】：在學生探究數(shù)學美，欣賞美的過程中，體會數(shù)學造化之神奇，學生可以興趣盎然地掌握公式特征、結構及其他變式。
⑤作業(yè)
第1題：用正弦定理證明余弦定理。
【設計意圖】：繼續(xù)要求學生擴寬思路，用正弦定理把余弦定理中的邊都轉化成角，然后利用三角公式進行推導證明。而這種把邊轉化為角、或把角轉化為邊的思想正是我們解決三角形問題中的一種非常重要的思想方法。
第2題：在△ABC
中，已知a?b?B?45?，求角A和C和邊c。
【設計意圖】：本題可以通過正弦定理和余弦定理來求解，讓學生體會兩種定理在解三角形問題上的利弊。運用正弦定理求角可能會漏解，運用余弦定理求角不會漏解，但是計算可能較繁瑣。
一、單元教學內容
運算定律P——P?
二、單元教學目標
1、探索和理解加法交換律、結合律，乘法交換律、結合律和分配律，能運用運算定律進行一些簡便計算。
2、理解和掌握減法和除法的運算性質，并能應用這些運算性質進行簡便計算。
3、會應用運算律進行一些簡便運算，掌握運算技巧，提高計算能力。?
4、在經歷運算定律和運算性質的發(fā)現(xiàn)過程中，體驗歸納、總結和抽象的數(shù)學思維方法。
5、在經歷運算定律的字母公式形成過程中，能進行有條理地思考，并表達自己的思考結果。
6、經歷簡便計算過程，感受數(shù)的運算與日常生活的密切聯(lián)系，并在活動中學會與他人合作。
7、在經歷解決問題的過程中，體驗運算律的價值，增強應用數(shù)學的意識。
三、單元教學重、難點
1、理解加法交換律、結合律，乘法交換律、結合律和分配律，能運用運算定律進行一些簡便計算。
2、理解和掌握減法和除法的運算性質，并能應用這些運算性質進行簡便計算。
四、單元教學安排
運算定律10課時
第1課時 加法交換律和結合律
一、教學內容：
加法交換律和結合律P17——P18
二、教學目標：
1、在解決實際問題的過程中，發(fā)現(xiàn)并掌握加法交換律和結合律，學會用字母表示加法交換律和結合律。
2、在探索運算律的過程中，發(fā)展分析、比較、抽象、概括能力，培養(yǎng)學生的符號感。
3、培養(yǎng)學生的觀察能力和概括能力。
三、教學重難點
重點：發(fā)現(xiàn)并掌握加法交換律、結合律。
難點：由具體上升到抽象，概括出加法交換律和加法結合律。
四、教學準備
多媒體課件
五、教學過程
（一）導入新授
1、出示教材第17頁情境圖。
師：在我們班里，有多少同學會騎自行車？你最遠騎到什么地方？ 師生交流后，課件出示李叔叔騎車旅行的場景：騎車是一項有益健康的運動，你看，這位李叔叔正在騎車旅行呢！
2、獲取信息。
師：從中你知道了哪些數(shù)學信息？（學生回答）
3、師小結信息，引出課題：加法交換律和結合律。
（二）探索發(fā)現(xiàn)
第一環(huán)節(jié) 探索加法交換律
1、課件繼續(xù)出示：“李叔叔今天上午騎了40km，下午騎了56km，一共騎了多少千米？”
學生口頭列式，教師板書出示： 40+56=96(千米) 56+40=96(千米) 你能用等號把這兩道算式寫成一個等式嗎？ 40+56=56+40 你還能再寫出幾個這樣的等式嗎？
學生獨自寫出幾個這樣的等式，并在小組內交流各自寫出的等式，互相檢驗
寫出的等式是否符合要求。
2、觀察寫出的這些算式，你有什么發(fā)現(xiàn)？并用自己喜歡的方式表示出來。 全班交流。從這些算式可以發(fā)現(xiàn)：兩個數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變?？梢杂梅杹肀硎荆?+☆=☆+?；
可以用文字來表示：甲數(shù)十乙數(shù)=乙數(shù)十甲數(shù)。
3、如果用字母a、b分別表示兩個加數(shù)，又可以怎樣來表示發(fā)現(xiàn)的這個規(guī)律呢？ a+b=b+a
教師指出：這就是加法交換律。
4、初步應用：在( )里填上合適的數(shù)。
37+36=36+( )305+49=( )+305b+100=( )+b 47+( )=126+( ) m+( )=n+( ) 13+24=( )+( )
第二環(huán)節(jié) 探索加法結合律
1、課件出示教材第18頁例2情境圖。
師：從例2的情境圖中，你獲得了哪些信息？
師生交流后提出問題：要求“李叔叔三天一共騎了多少千米”可以怎樣列式？ 學生獨立列式，指名匯報。 匯報預設：
方法一：先算出“第一天和第二天共騎了多少千米”： (88+104)+96=192+96 =288（千米）
方法二：先算出“第二天和第三天共騎了多少千米”： 88+(104+96)=88+200=288（千米）
把這兩道算式寫成一道等式：
(88+104)+96=88+(104+96)
2、算一算，下面的○里能填上等號嗎？
(45+25)+13○45+(25+13)(36+18)+22○36+(18+22)
小組討論。先比較每組的兩個算式，再比較這三組算式，在小組里說說你有
什么發(fā)現(xiàn)。
集體交流，使學生明確：三個算式加數(shù)沒變，加數(shù)的位置也沒變，運算的順序變了，它們的和不變。也就是：三個數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加，或者先把后兩個數(shù)相加，和不變。
3、如果用字母a、b、c分別表示三個加數(shù)，可以怎樣用字母來表示這個規(guī)律呢？ （a+b）+c=a+(b+c)
教師指出：這就是加法結合律。
4、初步應用。
在橫線上填上合適的數(shù)。 (45+36)+64=45+(36+) (560+)+ =560+(140+70) (360+)+108=360+(92+) (57+c)+d=57+(+)
（三）鞏固發(fā)散
1、完成教材第18頁“做一做”。
學生獨立填寫，組織匯報時，讓學生說說是根據(jù)什么運算律填寫的。
2、下面各等式哪些符合加法交換律，哪些符合加法結合律？
(1)470+320=320+470
(2)a+55+45=55+45+a
(3)(27+65)+35=27+(65+35)
(4)70+80+40=70+40+80
(5)60+（a+50）=（60+a）+50 (6)b+900=900+b
（四）評價反饋
通過今天這節(jié)課的學習，你有哪些收獲？
師生交流后總結：學習了加法交換律和結合律，并知道了如何用符號和字母來表示發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。
（五）板書設計
加法交換律和結合律
加法交換律加法結合律
例1：李叔叔今天一共騎了多少千米？ 例2：李叔叔三天一共騎了多少千米？ 40+56=96(千米) (88+104) +96 88+(104+96) 56+40=96(千米)=192+96 =88+200=288(千米) =288(千米) 40+56=56+40 (88+104)+96=88+(104+96) a+b=b+a （a+b）+c=a+(b+c)
兩個數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變。
六、教學后記
三個數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加，或者先把后兩個數(shù)相加，和不變。
各位評委老師，
下午好！今天我說課的題目是余弦定理，說課的內容為余弦定理第二課時，下面我將從說教材、說學情、說教法和學法、說教學過程、說板書設計這四個方面來對本課進行詳細說明：
一、說教材
（一）教材地位與作用
《余弦定理》是必修5第一章《解三角形》的第一節(jié)內容，前面已經學習了正弦定理以及必修4中的任意角、誘導公式以及恒等變換，為后面學習三角函數(shù)奠定了基礎，因此本節(jié)課有承上啟下的作用。本節(jié)課是解決有關斜三角形問題以及應用問題的一個重要定理，它將三角形的邊和角有機地聯(lián)系起來，實現(xiàn)了“邊”與“角”的互化，從而使“三角”與“幾何”產生聯(lián)系，為求與三角形有關的量提供了理論依據(jù)，同時也為判斷三角形形狀，證明三角形中的有關等式提供了重要依據(jù)。
（二）教學目標
根據(jù)上述教材內容分析以及新課程標準，考慮到學生已有的認知結構，心理特征及原有知識水平，我將本課的教學目標定為：
⒈知識與技能：
掌握余弦定理的內容及公式；能初步運用余弦定理解決一些斜三角形
⒉過程與方法：
在探究學習的過程中，認識到余弦定理可以解決某些與測量和幾何計算有關的實際問題，幫助學生提高運用有關知識解決實際問題的能力。
⒊情感、態(tài)度與價值觀：
培養(yǎng)學生的探索精神和創(chuàng)新意識；在運用余弦定理的過程中，讓學生逐步養(yǎng)成實事求是，扎實嚴謹?shù)目茖W態(tài)度，學習用數(shù)學的思維方式解決問題，認識世界；通過本節(jié)的運用實踐，體會數(shù)學的科學價值，應用價值；
（三）本節(jié)課的重難點
教學重點是：運用余弦定理探求任意三角形的邊角關系，解決與之有關的計算問題，運用余弦定理解決一些與測量以及幾何計算有關的實際問題。
教學難點是：靈活運用余弦定理解決相關的實際問題。
教學關鍵是：熟練掌握并靈活應用余弦定理解決相關的實際問題。
下面為了講清重點、難點，使學生能達到本節(jié)設定的教學目標，我再從教法和學法上談談：
二、說學情
從知識層面上看，高中學生通過前一節(jié)課的學習已經掌握了余弦定理及其推導過程；從能力層面上看，學生初步掌握運用余弦定理解決一些簡單的斜三角形問題的技能；從情感層面上看，學生對教學新內容的學習有相當?shù)呐d趣和積極性，但在探究問題的能力以及合作交流等方面的發(fā)展不夠均衡。
三、說教法和學法
貫徹的指導思想是把“學習的主動權還給學生”,倡導“自主、合作、探究”的學習方式。讓學生自主探索學會分析問題，解決問題。
四、說教學過程
下面為了完成教學目標，解決教學重點，突破教學難點，課堂教學我準備按以下五個環(huán)節(jié)展開：
環(huán)節(jié)⒈復習引入
由于本節(jié)課是余弦定理的第一課時，因此先領著學生回顧復習上節(jié)課所學的內容，采用提問的方式，找同學回答余弦定理的內容及公式，并且讓學生回想公式推導的思路和方法，這樣一來可以檢驗學生對所學知識的掌握情況，二來也為新課作準備。
環(huán)節(jié)⒉應用舉例
在本環(huán)節(jié)中，我將給出兩道典型例題
△ABC的頂點為A（6,5），B（-2,8）和C（4,1），求（精確到）。
已知三點A（1,3），B（-2,2），C（0,-3），求△ABC各內角的大小。
通過利用余弦定理解斜三角形的思想，來對這兩道例題進行分析和講解；本環(huán)節(jié)的目的在于通過典型例題的解答，鞏固學生所學的知識，進一步深化對于余弦定理的認識和理解，提高學生的理解能力和解題計算能力。
環(huán)節(jié)⒊練習反饋
練習B組題，1、2、3;習題1-1A組，1、2、3
在本環(huán)節(jié)中，我將找學生到黑板做題，期間巡視下面同學的做題情況，加以糾正和講解；通過解決書后練習題，鞏固學生當堂所學知識，同時教師也可以及時了解學生的掌握情況，以便及時調整自己的教學步調。
環(huán)節(jié)⒋歸納小結
在本環(huán)節(jié)中，我將采用師生共同總結-交流-完善的方式，首先讓學生自己總結出余弦定理可以解決哪些類型的問題，再由師生共同完善，總結出余弦定理可以解決的兩類問題：⑴已知三邊，求各角；⑵已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角。本環(huán)節(jié)的目的在于引導學生學會自己總結；讓學生進一步體會知識的形成、發(fā)展、完善的過程。
環(huán)節(jié)⒌課后作業(yè)
必做題：習題1-1A組，6、7;習題1-1B組，2、3、4、5
選做題：習題1-1B組7,8,9.
基于因材施教的原則，在根據(jù)不同層次的學生情況，把作業(yè)分為必做題和選做題，必做題要求所有學生全部完成，選做題要求學有余力的學生完成，使不同程度的學生都有所提高。本環(huán)節(jié)的目的是讓學生進一步鞏固和深化所學的知識，培養(yǎng)學生的自主探究能力。
五、說板書
在本節(jié)課中我將采用提綱式的板書設計，因為提綱式-條理清楚、從屬關系分明，給人以清晰完整的印象，便于學生對教材內容和知識體系的理解和記憶。
下面在銳角△中證明第一個等式，在鈍角△中證明以此類推。
由勾股定理得：
c^2=(AD)^2+(BD)^2，(AD)^2=b^2-(CD)^2
正、余弦定理是解三角形強有力的工具，關于這兩個定理有好幾種不同的證明方法.人教A版教材《數(shù)學》(必修5)是用向量的數(shù)量積給出證明的，如是在證明正弦定理時用到作輔助單位向量并對向量的等式作同一向量的.數(shù)量積，這種構思方法過于獨特，不易被初學者接受.本文試圖通過運用多種方法證明正、余弦定理從而進一步理解正、余弦定理，進一步體會向量的巧妙應用和數(shù)學中“數(shù)”與“形”的完美結合.
c2=a2+b2-2abcos C,
b2=a2+c2-2accos B,
a2=b2+c2-2bccos A.
AD=bsin∠BCA，
BE=csin∠CAB，
CF=asin∠ABC。
=casin∠ABC.
AD=bsin∠BCA=csin∠ABC，
BE=asin∠BCA=csin∠CAB。
的直徑，則∠DAC=90°，∠ABC=∠ADC。
因為AB=AC+CB，
所以jAB=j(AC+CB)=jAC+jCB.
因為jAC=0，
jCB=| j ||CB|cos(90°-∠C)=asinC，
jAB=| j ||AB|cos(90°-∠A)=csinA .
過A作 ，
法一：證明：建立如下圖所示的直角坐標系，則A=(0，0)、B=(c,0)，又由任意角三角函數(shù)的定義可得：C=(bcos A,bsin A)，以AB、BC為鄰邊作平行四邊形ABCC′，則∠BAC′=π-∠B，
∴C′(acos(π-B),asin(π-B))=C′(-acos B,asin B).
根據(jù)向量的運算：
=(-acos B,asin B)，
= - =(bcos A-c,bsin A),
(2)由 =(b-cos A-c)2+(bsin A)2=b2+c2-2bccos A，
又| |=a,
∴a2=b2+c2-2bccos A.
同理：
c2=a2+b2-2abcos C;
b2=a2+c2-2accos B.
,設 軸、 軸方向上的單位向量分別為 、 ，將上式的兩邊分別與 、 作數(shù)量積，可知
化簡得b2-a2-c2=-2accos B.
這里(1)為射影定理，(2)為正弦定理，(4)為余弦定理.
參考文獻：
【1】孟燕平?抓住特征，靈活轉換?數(shù)學通報第11期.
教學設計
一、內容及其解析
1.內容: 余弦定理
2.解析: 余弦定理是繼正弦定理教學之后又一關于三角形的邊角關系準確量化的一個重要定理。在初中，學生已經學習了相關邊角關系的定性的結果，就是“在任意三角形中大邊對大角，小邊對小角”，“如果已知兩個三角形的兩條對應邊及其所夾的角相等，則這兩個三角形全等”。同時學生在初中階段能解決直角三角形中一些邊角之間的定量關系。在高中階段，學生在已有知識的基礎上，通過對任意三角形邊角關系的探究，發(fā)現(xiàn)并掌握任意三角形中邊角之間的定量關系，從而進一步運用它們解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題，使學生能更深地體會數(shù)學來源于生活，數(shù)學服務于生活。
二、目標及其解析
目標：
1、使學生掌握余弦定理及推論，并會初步運用余弦定理及推論解三角形。
2、通過對三角形邊角關系的探究，能證明余弦定理，了解從三角方法、解析方法、向量方法和正弦定理等途徑證明余弦定理。解析：
1、在發(fā)現(xiàn)和證明余弦定理中，通過聯(lián)想、類比、轉化等思想方法比較證明余弦定理的不同 方法，從而培養(yǎng)學生的發(fā)散思維。
2、能用余弦定理解決生活中的實際問題，可以培養(yǎng)學生學習數(shù)學的興趣，使學生進一步認識到數(shù)學是有用的。
三、教學問題診斷分析
1、通過前一節(jié)正弦定理的學習，學生已能解決這樣兩類解三角形的問題：
①已知三角形的任意兩個角與邊，求其他兩邊和另一角；②已知三角形的任意兩個角與其中一邊的對角，計算另一邊的對角，進而計算出其他的邊和角。
而在已知三角形兩邊和它們的夾角，計算出另一邊和另兩個角的問題上，學生產生了認知沖突，這就迫切需要他們掌握三角形邊角關系的另一種定量關系。所以，教學的重點應放在余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明上。
2、在以往的教學中存在學生認知比較單一，對余弦定理的證明方法思考也比較單一，而
本節(jié)的教學難點就在于余弦定理的證明。如何啟發(fā)、引導學生經過聯(lián)想、類比、轉化多角度地對余弦定理進行證明，從而突破這一難點。
3、學習了正弦定理和余弦定理，學生在解三角形中，如何適當?shù)剡x擇定理以達到更有效地解題，也是本節(jié)內容應該關注的問題，特別是求某一個角有時既可以用余弦定理，也可以用正弦定理時，教學中應注意讓學生能理解兩種方法的利弊之處，從而更有效地解題。
四、教學支持條件分析
為了將學生從繁瑣的計算中解脫出來，將精力放在對定理的證明和運用上，所以本節(jié)中復雜的計算借助計算器來完成。當使用計算器時，約定當計算器所得的三角函數(shù)值是準確數(shù)時用等號，當取其近似值時，相應的運算采用約等號。但一般的代數(shù)運算結果按通常的運算規(guī)則，是近似值時用約等號。
五、教學過程
（一）教學基本流程
教學過程：
一、創(chuàng)設情境，引入課題
問題1：在△ABC中，∠C = 90°，則用勾股定理就可以得到c2=a2+b
2?！驹O計意圖】：引導學生從最簡單入手，從而通過添加輔助線構造直角三角形。師生活動：引導學生從特殊入手，用已有的初中所學的平面幾何的有關知識來研究這一問題，從而尋找出這些量之間存在的某種定量關系。
學生1：在△ABC中，如圖4，過C作CD⊥AB，垂足為D。在Rt△ACD中，AD=bsin∠1,CD= bcos∠1;在Rt△BCD中，BD=asin∠2, CD=acos∠2;c=(AD+BD)=b-CD+a-CD+2AD?BD
= a?b?2abcos?1?cos?2?2absin?1?sin?2=a?b?2abcos(?1??2)?a?b?2abcosC
A
D圖
4學生2：如圖5，過A作AD⊥BC，垂足為D。
A
圖
5則：c?AD?BD
2?b?CD?(a?CD)?a?b?2a?CD?a?b?2abcosC
學生3：如圖5，AD = bsinC，CD = bcosC，∴c2 =（bsinC）2+（a-bcosC）2 = a2 +b2-2abcosC
類似地可以證明b= a+c-2accosB，c= a+b-2abcosC。
【設計意圖】：首先肯定學生成果，進一步的追問以上思路是否完整，可以使學生的思維更加嚴密。
師生活動：得出了余弦定理，教師還應引導學生聯(lián)想、類比、轉化，思考是否還有其他方法證明余弦定理。
教師：在前面學習正弦定理的證明過程種，我們用向量法比較簡便地證明了正弦定理，那么在余弦定理的證明中，你會有什么想法？
【設計意圖】：通過類比、聯(lián)想，讓學生的思維水平得到進一步鍛煉和提高，體驗到成功的樂趣。
學生4：如圖6，????????????記AB?c,CB?a,CA?b????????????則c?AB?CB?CA?a?b???2
2?（c）?（a?b）
?2?2??
?a?b?2a?b?2?2?2??
即c?a?b?2a?b?cosC?c?a?b?2abcosC
A
圖6
【設計意圖】：由向量又聯(lián)想到坐標，引導學生從直角坐標中用解析法證明定理。（好工具范文網 FANwEN.hAo86.CoM）
學生7：如圖7，建立直角坐標系，在△ABC中，AC = b，BC = a.且A（b，0），B（acosC，asinC），C（0，0），則 c?AB
?(acosC?b)?(asinC)
?a?b?2abcosC
【設計意圖】：通過以上平面幾何知識、向量法、解析法引導學生體會證明余弦定理，更好地讓學生主動投入到整個數(shù)學學習的過程中，培養(yǎng)學生發(fā)散思維能力，拓展學生思維空
間的深度和廣度。
二、探究定理 余弦定理：
a
2222222
2?b?c?2bccosA,b?a?c?2accosB,c?a?b?2abcosC
余弦定理推論： cosA?
b?c?a
2bc，cosB?
a?c?b
2ac
222，cosC?
a?b?c
2ab
222
解決類型：（1）已知三角形的三邊，可求出三角；
（2）已知三角形的任意兩邊與兩邊的夾角，可求出另外一邊和兩角。
三、例題
例1：①在△ABC中，已知a = 2，b = 3，∠C = 60°，求邊c。
②在△ABC中，已知a = 7，b = 3，c = 5，求A、B、C。
【設計意圖】：讓學生理解余弦定理及推論解決兩類最基本問題，既①已知三角形兩邊及夾角，求第三邊；②已知三角形三邊，求三內角。
四、目標檢測
1、若三角形的三邊為2，4，23，那么這個三角形的形狀為（）A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．等腰直角三角形 2．已知三角形的三邊為3、4、6，那么此三角形有（）
A．三個銳角 B．兩個銳角，一個直角 C．兩個銳角，一個鈍角 D．以上都不對 3．在△ABC中，若其三邊的比是a∶b∶c = 3∶5∶7，則三個內角正弦值的比是______．
4．在△ABC中，已知a = 4，b = 6，C = 120°，求sinA．
五、小結
本節(jié)課的主要內容是余弦定理的證明，從平面幾何、向量、坐標等各個不同的方面進行探究，得出的余弦定理無論在什么形狀的三角形中都成立，勾股定理也只不過是它的特例。所以它很“完美”，從式子上又可以看出其具“簡捷、和諧、對稱”的美，其變式即推論也很協(xié)調。
【設計意圖】：在學生探究數(shù)學美，欣賞美的過程中，體會數(shù)學造化之神奇，學生可以
興趣盎然地掌握公式特征、結構及其他變式。
學案
1．2 余弦定理
班級學號
一、學習目標
1、使學生掌握余弦定理及推論，并會初步運用余弦定理及推論解三角形。
2、通過對三角形邊角關系的探究，能證明余弦定理，了解從三角方法、解析方法、向量方法和正弦定理等途徑證明余弦定理。
二、例題與問題
例1：①在△ABC中，已知a = 2，b = 3，∠C = 60°，求邊c。
②在△ABC中，已知a = 7，b = 3，c = 5，求A、B、C。
三、目標檢測
1、若三角形的三邊為2，4，23，那么這個三角形的形狀為（）A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．等腰直角三角形 2．已知三角形的三邊為3、4、6，那么此三角形有（）
A．三個銳角 B．兩個銳角，一個直角 C．兩個銳角，一個鈍角 D．以上都不對 3．在△ABC中，若其三邊的比是a∶b∶c = 3∶5∶7，則三個內角正弦值的比是______．
4．在△ABC中，已知a = 4，b = 6，C = 120°，求sinA．
配餐作業(yè)
一、基礎題(A組)
1.在△ABC中，若acosA?bcosB，則△ABC的形狀是（）A.等腰三角形C.等腰直角三角形
B.直角三角形D.等腰或直角三角形
2.△ABC中，sinA:sinB:sinC?3:2:4，那么cosC?（）
A.4B.3C.?
D.?
3.在△ABC中，已知a?2，b?3，C=120°，則sinA的值為（）
2157
A.38B.7 C.19 D.3
4.在△ABC中，B=135°，C=15°，a?5，則此三角形的最大邊長為。5.△ABC中，如果a?6，b?63，A=30°，邊c?。
二、鞏固題(B組)
6.在△ABC中，化簡bcosC?ccosB?（）
b?c
a?c
a?b
A.a
B.C.D.7.已知三角形的三邊長分別為a、b、a?ab?b，則三角形的最大內角是（）A.135°
B.120°
C.60°
D.90°
8.三角形的兩邊分別為5和3，它們夾角的余弦是方程5x?7x?6?0的根，則另一邊長為（）
A.52B.16
C.4D.2
9.（06年北京卷，理12）在△ABC中，若sinA:sinB:sinC?5:7:8，則∠B的大小是。
三、提高題(C組
tanB
?2a?cc
10.在△ABC中，a,b,c分別是角A、B、C的對邊，且tanCa?b?c?，2ab，（1）求C；（2）求A。
cosB
b2a?c
11.在△ABC中，a,b,c分別是A、B、C的對邊，且cosC（1）求角B的大??；（2）若b?
??，a?c?4，求a的值；
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